В алгебраїчній топології n-вимірним числом Бетті простору X є ранг n-вимірної гомологічної групи з цілими коефіцієнтами. Еквівалентно числа Бетті рівні розмірності гомологічної групи з раціональними коефіцієнтами. Для кожного n числа Бетті — топологічні інваріанти поліедра, що реалізовує комплекс K, що вказує число попарно негомологічних (над раціональними числами) циклів в ньому.

Термін «числа Бетті» було введено Анрі Пуанкаре, який назвав їх на честь італійського математика Енріко Бетті.

• Для сфери ${\displaystyle \ S^{n}:}$

${\displaystyle \ b_{0}(S^{n})=1,\quad b_{1}(S^{n})=\ldots =b_{n-1}(S^{n})=0,\quad b_{n}(S^{n})=1.}$

• Для проективної площини ${\displaystyle P_{2}(\mathbb {R} ):}$

${\displaystyle b_{0}(P_{2}(\mathbb {R} ))=1,\quad b_{1}(P_{2}(\mathbb {R} ))=b_{2}(P_{2}(\mathbb {R} ))=0.}$

• Для тора ${\displaystyle \ T^{2}:}$

${\displaystyle b_{0}(T^{2})=b_{2}(T^{2})=1,\quad b_{1}(T^{2})=2.}$

В топологічній теорії графів перше число Бетті графу G з n вершинами, m ребрами та k компонентами зв'язності дорівнює

${\displaystyle m-n+k.\ }$

Це можна безпосередньо довести із використанням математичної індукції за кількістю ребер. Нове ребро або збільшує кількість 1-циклів, або зменшує кількість компонент зв'язності.

Дивись цикломатичну складність як приклад застосування першого числа Бетті в розробці програмного забезпечення.

• Для скінченного симпліційного комплекса K групи гомологій H_k(K) є скінченно-породженими і, відтак, мають скінченний ранг. Якщо k перевищує максимальну розмірність симплексів K, то відповідні групи гомологій нульові. У цьому випадку
  • Ейлерова характеристика K може бути виражена наступним чином

    ${\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\beta _{i}(K)}$

  • Функція Пуанкаре є поліномом.
• Згідно з теоремою Кюннета для будь-яких двох просторів X і Y, вірно наступне співвідношення для функцій Пуанкаре

${\displaystyle P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},\,}$

• Якщо X — замкнутий і орієнтовний n-вимірний многовид, то, згідно з двоїстістю Пуанкаре, для будь-якого k:

  ${\displaystyle \beta _{k}(X)=\beta _{n-k}(X).}$

• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)

п о р Топологія
Галузі топології	Загальна Алгебрична Континуум Диференціальна Геометрична[en] Гомологія когомологія
Ключові поняття	Відкрита множина / Замкнута множина Внутрішність Неперервність Топологічний простір компактний зв'язний гаусдорфів метричний рівномірний Гомотопія Гомотопічна група Фундаментальна група Симпліційний комплекс CW-комплекс Многовид Розшарування Друга аксіома зліченності Бордизм
Характеристики	Характеристика Ейлера Числа Бетті Індекс контуру відносно точки Клас Чженя Орієнтовність
Основні результати	Теорема Банаха про нерухому точку Когомологія де Рама Теорема Брауера про інваріантність областей Гіпотеза Пуанкаре Теорема Тихонова Лема Урисона
Топологія Топологія