Ейлерова характеристика або характеристика Ейлера—Пуанкаре — характеристика топологічного простору. Ейлерова характеристика простору ${\displaystyle X}$ зазвичай позначається ${\displaystyle \chi (X)}$.

• Для скінченного кліткового комплексу (зокрема, для скінченного симпліційного комплексу) ейлерова характеристика може бути визначена як знакозмінна сума

  ${\displaystyle \chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,}$

где ${\displaystyle k_{i))$ означає число клітинок розмірности ${\displaystyle i}$.

• Ейлерова характеристика довільного топологічного простору може бути визначена через числа Бетті ${\displaystyle b_{n))$ як знакозмінна сума:

  ${\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...}$

Це визначення має сенс лише якщо всі числа Бетті скінченні й збігаються до нуля для достатньо великих індексів.

• Останнє визначення узагальнює попереднє і узагальнюється на інші гомології з довільними коефіцієнтами.

• Ейлерова характеристика є гомотопічним інваріантом, тобто, зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів.
  • Зокрема, ейлерова характеристика є топологічним інваріантом.

• Ейлерова характеристика двовимірних топологічних поліедрів може бути обчислена за формулою: ${\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P))+{\hbox{B))}$ де Г, Р і В — кількість граней, ребер і вершин відповідно. Зокрема, для будь-якого многогранника справедлива формула Ейлера:

  ${\displaystyle \Gamma -{\hbox{P))+{\hbox{B))=\chi (S^{2})=2.}$

Наприклад, характеристика Ейлера для куба дорівнює 6 — 12 + 8 = 2, а для трикутної піраміди 4 — 6 + 4 = 2.

Для компактного двовимірного орієнтованого риманового многовиду ${\displaystyle S}$ (поверхні без краю) справедлива Формула Ґауса-Бонне, що пов'язує ейлерову характеристику ${\displaystyle \chi (S)}$ з кривиною Ґауса ${\displaystyle K}$ многовиду:

${\displaystyle \int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),}$

де ${\displaystyle d\sigma }$ — елемент площі поверхні ${\displaystyle S}$.

• Існує узагальнення формули Ґауса—Бонне для двовимірного многовиду з краєм (межею).
• Існує узагальнення формули Ґауса — Бонне на парновимірні ріманові многовиди, яке відоме як Теорема Ґауса — Бонне — Черна або Узагальнена формула Ґауса—Бонне.
• Існує також дискретний аналог теореми Ґауса — Бонне, який говорить, що характеристика Ейлера дорівнює сумі дефектів поліедра, поділеній на ${\displaystyle 2\pi }$.^[1]
• Існують комбінаторні аналоги формули Ґаусса — Бонне.

• Ейлерова характеристика для орієнтованої сфери з ручками (тора, подвійного тора, ...) подається формулою: ${\displaystyle \chi (X)=2-2g}$, де g — число ручок, для неорієнтованої поверхні формула виглядає, як ${\displaystyle \chi (X)=2-g}$.

Назва	Вид	Ейлерова характеристика
Відрізок		1
Коло		0
Круг		1
Сфера		2
Тор (добуток двох кіл)		0
Подвійний тор		−2
Потрійний тор		−4
Проективна поверхня		1
Стрічка Мебіуса		0
Пляшка Кляйна		0
Дві сфери (незв'язані)		2 + 2 = 4
Три сфери		2 + 2 + 2 = 6

У 1752 році Ейлер ^[2] опублікував формулу, що пов'язує між собою кількість граней тривимірного багатогранника. В оригінальній роботі формула приводиться у вигляді

${\displaystyle ~S+H=A+2,}$

де S — кількість вершин, Н — кількість граней, A — кількість ребер.

Раніше ця формула зустрічається в рукописах Рене Декарта, опублікованих Лейбніцем у 1760 році ^[3].

У 1899 році Анрі Пуанкаре ^[4] узагальнив цю формулу на випадок N-вимірного многотогранника:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{N-1},}$

де ${\displaystyle A_{i))$ — кількість i-вимірних граней N-вимірного многогранника.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N}{(-1)}^{i}A_{i}=1.}$

• Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.
• Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
• Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).

п о р Топологія
Галузі топології	Загальна Алгебрична Континуум Диференціальна Геометрична[en] Гомологія когомологія
Ключові поняття	Відкрита множина / Замкнута множина Внутрішність Неперервність Топологічний простір компактний зв'язний гаусдорфів метричний рівномірний Гомотопія Гомотопічна група Фундаментальна група Симпліційний комплекс CW-комплекс Многовид Розшарування Друга аксіома зліченності Бордизм
Характеристики	Характеристика Ейлера Числа Бетті Індекс контуру відносно точки Клас Чженя Орієнтовність
Основні результати	Теорема Банаха про нерухому точку Когомологія де Рама Теорема Брауера про інваріантність областей Гіпотеза Пуанкаре Теорема Тихонова Лема Урисона
Топологія Топологія