초대칭 대수 (超對稱代數, 영어 : supersymmetry algebra )는 푸앵카레 대칭 과 초대칭 을 나타내는 리 초대수 다.
푸앵카레 대수는 시공 에 대한 병진
P
μ
{\displaystyle P_{\mu ))
와 로런츠 변환
M
μ
ν
{\displaystyle M_{\mu \nu ))
로 이루어진다. 이들은 보손 적 생성자다. 여기에 일련의 페르미온 적 생성자
Q
α
i
{\displaystyle Q_{\alpha }^{i))
와
Q
¯
α
˙
i
{\displaystyle {\bar {Q))_{\dot {\alpha ))^{i))
를 추가한다. (만약
N
{\displaystyle {\mathcal {N))}
개의 초대칭이 있으면
i
=
1
,
2
,
…
,
N
{\displaystyle i=1,2,\dots ,{\mathcal {N))}
.) 이들은 초대칭을 나타낸다.
푸앵카레 대수는
D
{\displaystyle D}
차원의 시공에서
D
{\displaystyle D}
개의 병진 생성자와
D
(
D
−
1
)
/
2
{\displaystyle D(D-1)/2}
개의 로런츠 변환 으로 총
D
+
D
(
D
−
1
)
/
2
{\displaystyle D+D(D-1)/2}
차원이다. (
D
=
4
{\displaystyle D=4}
일 경우에는 물론 10차원.) 여기에
N
{\displaystyle {\mathcal {N))}
개의 초대칭이 있는 경우에는 (중심 전하를 무시하면) 초대칭 대수는 총
D
+
D
(
D
−
1
)
/
2
+
dim
(
spinor
)
×
N
{\displaystyle D+D(D-1)/2+\dim({\text{spinor)))\times {\mathcal {N))}
차원이 된다.
주어진 시공간 차원에서, 초전하(영어 : supercharge )의 수는 그 차원에서의 최소 스피너 표현의 차원의 정수배이다. 이 정수를 통상적으로
N
{\displaystyle {\mathcal {N))}
이라고 쓴다. 가장 간단한 초대칭은
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
이며,
N
>
1
{\displaystyle {\mathcal {N))>1}
인 경우를 확장 초대칭 (영어 : extended supersymmetry )이라고 한다. 4차원 민코프스키 공간 에서의 최소 스피너 표현은 4차원 바일 또는 마요라나 스피너이므로,
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
초대칭은 4개의 초전하를 가진다.
초대칭은 서로 다른 스핀의 입자들을 연관지으므로, 초대칭이 더 많을 수록 더 높은 스핀의 입자가 필요하다. 스핀이 2를 초과하는 경우는 (일반적으로) 상호작용하는 이론을 정의할 수 없다. 만약 초전하의 수가 32를 초과하는 경우 스핀이 2를 초과하는 입자가 필요하므로, 초전하는 최대 32개가 존재할 수 있다. 32개의 초전하의 경우 스핀이 2인 입자(중력자 )가 필요하므로, 이는 초중력 이론을 이룬다. 11차원 초중력 이나 10차원 IIA/B 초중력 , 4차원
N
=
8
{\displaystyle {\mathcal {N))=8}
초중력 [ 1] 등이 그 예이다.
만약 중력을 포함하지 않으려면, 입자의 스핀은 최대 1이어야 한다. (스핀이 1½인 경우는 그래비티노 로, 중력이 없이는 상호작용하는 그래비티노를 포함할 수 없다.) 이 경우에는 초전하의 수는 최대 16이다. 10차원
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
초대칭 양-밀스 이론 이나 4차원
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N))=4}
초대칭 양-밀스 이론 [ 2] 이 그 예이다.
다양한 시공간 차원에서 가능한 초대칭의 종류는 다음과 같다. (12차원 이상에서는 자명하지 않은 초대칭 이론이 존재할 수 없다고 여겨진다.)
시공간의 차원
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
의 초전하수
다양한 차원의 민코프스키 공간 에서의 최소 초대칭 수
11
32
10, 9, 8, 7
16
6, 5
8
4
4
3
2
2,1
1
시공간의 차원
32개의 초전하
16개의 초전하
8개의 초전하
4개의 초전하
2개의 초전하
차원 축소에 따른 초대칭. 주어진 칸의 초대칭을 차원 축소하면 그 밑에 있는 초대칭들을 얻는다.
11
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
(불가능)
10
N
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(1,1)}
(IIA종)
N
=
(
2
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(2,0)}
(IIB종)
N
=
(
1
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(1,0)}
(I종)
(불가능)
9
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N))=2}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
8
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N))=2}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
7
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N))=2}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
6
N
=
(
2
,
2
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(2,2)}
N
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(1,1)}
N
=
(
2
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(2,0)}
N
=
(
1
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(1,0)}
(불가능)
5
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N))=4}
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N))=2}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
4
N
=
8
{\displaystyle {\mathcal {N))=8}
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N))=4}
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N))=2}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
(불가능)
3
N
=
16
{\displaystyle {\mathcal {N))=16}
N
=
8
{\displaystyle {\mathcal {N))=8}
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N))=4}
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N))=2}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
(불가능)
2
N
=
(
16
,
16
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(16,16)}
N
=
(
8
,
8
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(8,8)}
N
=
(
4
,
4
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(4,4)}
N
=
(
2
,
2
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(2,2)}
N
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(1,1)}
N
=
(
2
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(2,0)}
4차원에서,
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
초대칭은 (디랙 스피너 이므로) 총 4개의 초전하를 가진다. 즉, 일반적으로는
4
N
{\displaystyle 4{\mathcal {N))}
개의 초전하가 존재한다. 이 경우, 흔히 볼 수 있는 것은
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
,
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N))=2}
,
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N))=4}
및
N
=
8
{\displaystyle {\mathcal {N))=8}
초중력 이다. 중력을 포함하지 않는 경우,
N
>
4
{\displaystyle {\mathcal {N))>4}
인 경우는 와인버그-위튼 정리 에 걸려 자명한 이론이 되고, 중력을 포함한다고 해도
N
=
8
{\displaystyle {\mathcal {N))=8}
까지만 가능하다.
주어진
N
{\displaystyle {\mathcal {N))}
에 대하여, 초대칭 대수의 생성원은 다음과 같다.
병진 변환
P
μ
{\displaystyle P_{\mu ))
회전
J
μ
ν
{\displaystyle J_{\mu \nu ))
초대칭
Q
α
i
{\displaystyle Q_{\alpha }^{i))
,
Q
¯
α
˙
i
{\displaystyle {\bar {Q))_{\dot {\alpha ))^{i))
(
i
=
1
,
…
,
N
{\displaystyle i=1,\dots ,{\mathcal {N))}
). 이는 R대칭 군의 크기가
N
{\displaystyle {\mathcal {N))}
인 "벡터 표현"을 따른다. 이 표현을
b
a
i
j
{\displaystyle b^{ai}{}_{j))
라고 쓰자.
R대칭
R
a
{\displaystyle R^{a))
는 R대칭 군
R
⊆
U
(
N
)
{\displaystyle R\subseteq U({\mathcal {N)))}
의 딸림표현 을 따른다. 이 표현을
f
a
b
c
{\displaystyle f^{ab}{}_{c))
라고 쓰자.
중심 원소
Z
i
j
{\displaystyle Z^{ij))
이들의 리 초괄호는 다음과 같다.
[
P
μ
,
P
ν
]
=
0
{\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0}
[
J
μ
ν
,
P
ρ
]
=
i
(
η
μ
ρ
P
ν
−
η
ν
ρ
P
μ
)
{\displaystyle [J_{\mu \nu },P_{\rho }]=i\left(\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\right)}
[
J
μ
ν
,
J
ρ
σ
]
=
i
(
η
μ
ρ
J
ν
σ
−
η
μ
σ
J
ν
ρ
−
η
ν
ρ
J
μ
σ
+
η
ν
σ
J
μ
ρ
)
{\displaystyle [J_{\mu \nu },J_{\rho \sigma }]=i\left(\eta _{\mu \rho }J_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }J_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }J_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }J_{\mu \rho }\right)}
{
Q
α
i
,
Q
β
j
}
=
ϵ
α
β
Z
i
j
{\displaystyle \{Q_{\alpha }^{i},Q_{\beta }^{j}\}=\epsilon _{\alpha \beta }Z^{ij))
[
Q
α
i
,
M
μ
ν
]
=
1
2
(
σ
μ
ν
)
β
α
Q
β
i
{\displaystyle [Q_{\alpha }^{i},M_{\mu \nu }]={\frac {1}{2))(\sigma _{\mu \nu })^{\beta }{}_{\alpha }Q_{\beta }^{i))
[
Q
¯
α
˙
i
,
M
μ
ν
]
=
−
1
2
(
σ
μ
ν
)
β
˙
α
˙
Q
¯
β
˙
i
{\displaystyle [{\bar {Q))_{\dot {\alpha ))^{i},M_{\mu \nu }]=-{\frac {1}{2))(\sigma _{\mu \nu })^{\dot {\beta )){}_{\dot {\alpha )){\bar {Q))_{\dot {\beta ))^{i))
{
Q
¯
i
,
Q
¯
j
}
=
−
ϵ
α
˙
β
˙
(
Z
i
j
)
†
)
{\displaystyle \((\bar {Q))^{i},{\bar {Q))^{j}\}=-\epsilon _((\dot {\alpha )){\dot {\beta ))}(Z^{ij})\dagger )}
{
Q
α
i
,
Q
¯
α
˙
j
}
=
2
σ
α
α
˙
μ
δ
i
j
P
μ
{\displaystyle \{Q_{\alpha }^{i},{\bar {Q))_{\dot {\alpha ))^{j}\}=2\sigma _{\alpha {\dot {\alpha ))}^{\mu }\delta ^{ij}P_{\mu ))
[
Q
i
,
R
a
]
=
b
a
i
j
Q
j
{\displaystyle [Q^{i},R^{a}]=b^{ai}{}_{j}Q^{j))
[
Q
i
,
R
a
]
=
−
(
b
a
i
j
)
†
Q
¯
j
{\displaystyle [Q^{i},R^{a}]=-(b^{ai}{}_{j})^{\dagger }{\bar {Q))^{j))
[
Q
¯
i
,
R
a
]
=
−
(
b
a
i
j
)
†
Q
j
{\displaystyle [{\bar {Q))^{i},R^{a}]=-(b^{ai}{}_{j})^{\dagger }Q^{j))
[
Q
¯
i
,
R
j
k
]
=
−
δ
k
i
Q
¯
j
{\displaystyle [{\bar {Q))^{i},R^{j}{}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\bar {Q))^{j))
[
Z
i
j
,
P
μ
]
=
[
Z
i
j
,
J
μ
ν
]
=
[
Z
i
j
,
R
a
]
=
[
Z
i
j
,
Q
]
=
0
{\displaystyle [Z^{ij},P_{\mu }]=[Z^{ij},J_{\mu \nu }]=[Z^{ij},R^{a}]=[Z^{ij},Q]=0}
즉, 초대칭 전하는 일종의 운동량의 제곱근으로 생각할 수 있다.
4차원에서는
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N))=2}
또는
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N))=4}
인 경우 위상 뒤틀림(영어 : topological twist )을 가해 위상 양자장론 으로 만들 수 있다. 이 경우,
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N))=2}
인 경우는 SU(2) R대칭 을
Spin
(
4
)
=
SU
(
2
)
2
{\displaystyle \operatorname {Spin} (4)=\operatorname {SU} (2)^{2))
로런츠 대칭 의 두 좌·우 성분 가운데 하나와 대각군을 취하며,
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N))=4}
인 경우는 서로 동일하지 않는 3가지의 가능한 뒤틀림이 존재한다.
4차원 민코프스키 공간 에서 상호작용이 가능한 초다중항 들은 다음과 같다.
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
손지기 초다중항 (영어 : chiral multiplet ): 복소 스칼라장, 바일 스피너
벡터 초다중항 (영어 : vector multiplet ): 바일 스피너, 게이지장
중력자 초다중항 (graviton supermultiplet ): 중력자 , 바일 그래비티노
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N))=2}
하이퍼 초다중항 (영어 : hypermultiplet ): 복소 스칼라장(×2), 디랙 스피너
서로 다른 나선도 의 두
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
손지기 초다중항으로 구성된다. 게이지 대칭이 있는 경우, 하나는 표현 R , 다른 하나는 그 복소 켤레 표현 R 을 따른다.
벡터 초다중항 : 복소 스칼라장, 디랙 스피너, 게이지장
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
벡터 초다중항과 (게이지 딸림표현 )
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
손지기 초다중항으로 구성된다.
중력자 초다중항 : 중력자 , 디랙 그래비티노 , 중력광자
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N))=4}
벡터 초다중항 : 실수 스칼라장 (×6), 바일 스피너 (×6), 게이지장
중력자 초다중항
N
=
8
{\displaystyle {\mathcal {N))=8}
3차원 민코프스키 공간 에서의 초대칭은 다음과 같다.[ 3] 이 경우
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
초대칭은 2개의 초대칭을 가지며, 마요라나 스피너 가 된다.
{
Q
i
,
Q
¯
j
}
=
i
σ
α
β
μ
δ
i
j
P
μ
+
Z
i
j
{\displaystyle \{Q^{i},{\bar {Q))^{j}\}=i\sigma _{\alpha \beta }^{\mu }\delta ^{ij}P_{\mu }+Z^{ij))
여기서 중심 확대
Z
i
j
{\displaystyle Z^{ij))
는 반대각화하여
⌊
N
/
2
⌋
{\displaystyle \lfloor {\mathcal {N))/2\rfloor }
개의 실수 고윳값으로 나타낼 수 있다.
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N))=2}
초대칭에서는 하나의 중심 전하
Z
{\displaystyle Z}
가 존재하며, 이 경우 모든 물리적 상태들의 질량
M
{\displaystyle M}
은 BPS 부등식
M
≥
Z
{\displaystyle M\geq Z}
를 만족시킨다.[ 3] :(19)
3차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항 들은 다음과 같다. 3차원에서는 게이지장을
∗
F
=
ϕ
{\displaystyle *F=\phi }
로 실수 스칼라로 이중화할 수 있다. 즉, 3차원에서는 스칼라장 및 (마요라나) 페르미온만이 존재한다.
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
: 실수 스칼라장 (×1), 마요라나 스피너 (×1). R대칭 은 없다.
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N))=2}
[ 4] : 실수 스칼라장 (×2), 마요라나 스피너 (×2). R대칭 은 U(1). 이 경우는 4차원
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
을 축소화 하여 얻는다. 이 경우 게이지 이론의 거울 대칭 이 존재한다.
마찬가지로
N
=
4
,
8
,
16
{\displaystyle {\mathcal {N))=4,8,16}
등이 존재한다. 6차원 민코프스키 공간에서는 2차 미분형식 퍼텐셜 게이지장이 존재한다. 이 경우, 질량껍질 위에서, (1차 미분형식) 게이지장은 4개의 자유도를, 바일 스피너는 4개의 자유도를, 2차 미분형식 게이지장은 3개의 자유도를 가진다.
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N))=1}
. R대칭 은 SU(2)이다.
하이퍼 초다중항: 실수 스칼라장 (×4), 바일 스피너 (×1)
벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1)
텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1), 실수 스칼라 (×1)
N
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(1,1)}
. R대칭 은 SO(4)이다.
벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 디랙 스피너 (×1), 실수 스칼라장 (×4)
N
=
(
2
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {N))=(2,0)}
. R대칭 은 SO(5)이다.
텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 왼쪽 바일 스피너 (×2), 실수 스칼라장 (×5)