리 초대수
리 대수 이론에서, 리 초대수(Lie 超代數, 영어: Lie superalgebra)는 리 대수에 등급을 주어 일반화한 수학적 구조다. 초대칭이나 BRST 대칭 따위를 수학적으로 다룰 때 쓰인다.
정의
[편집]가환환 가 주어졌다고 하자. -리 초대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 두 -가군 , . 또한, 로 표기하자. 는 -등급 가군으로 여긴다. 순수 성분의 등급은 로 표기하자.
- -쌍선형 연산 (일부 문헌에서 이는 로 표기되기도 한다).
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다. (이는 일반적인 -리 대수의 공리를 등급을 고려하여 일반화한 것이다.)
- (리 괄호의 등급)
- (반대칭성)
- (야코비 항등식)
여기서, 넷째 공리는 만약 에서 2가 가역원일 경우 자동으로 반대칭성으로부터 유도되며, 다섯째 공리는 만약 에서 3이 가역원일 경우 자동으로 야코비 항등식으로부터 유도된다. 즉, 예를 들어 가 표수가 2 또는 3이 아닌 체일 경우 이들을 생략할 수 있다.
성질
[편집]가군으로서, 리 초대수 는 그 등급이 0(보손)인 부분 가군 과 등급이 1(페르미온)인 부분 가군 의 직합이다. 이렇게 분해하면, 는 리 대수를 이루고, 은 의 표현을 이룬다. 또한, 은 다음과 같은 가환 비결합 괄호
를 가진다.
단순 리 초대수
[편집]자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수를 단순 리 초대수라고 하며, 이들은 모두 분류되었다.
예
[편집]아벨 초대수
[편집]가환환 위의 임의의 두 가군 및 이 주어졌을 때, 리 초괄호
을 주면, 은 리 초대수를 이룬다. 이를 아벨 리 초대수(Abel Lie超代數, 영어: Abelian Lie superalgebra)라고 한다.
일반·특수 선형 초대수
[편집]초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.
여기서 는 이고, 는 이다. 초행렬의 모임을 일반 선형 초대수 (general linear Lie superalgebra) 이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(超對角合, 영어: supertrace)은 다음과 같다.[1]:§25
응용
[편집]리 초대수는 이론물리학에서 쓰인다. (푸앵카레) 초대칭에서는 짝수 등급이 보존을, 홀수 등급이 페르미온을 나타낸다. 그러나 BRST에서는 그 반대다.
BRST 대칭
[편집]게이지 이론은 BRST 대칭이라는 대칭을 지닌다. BRST 초대수는 0|1차원 초대수이며, 그 페르미온 생성원 의 초괄호는 다음과 같다.
즉, 이는 멱영(영어: nilpotent) 리 초대수이다.
초대칭
[편집]초대칭 이론들은 시공간의 대칭들과 초대칭들을 포함하는 리 초대수를 대칭으로 가진다. 이들 대수의 보손 생성원은 푸앵카레 군과 R대칭에 해당하고, 페르미온 생성원은 초대칭에 해당한다.
만약 이론이 초대칭과 등각 대칭을 둘 다 가질 경우, 이 두 대칭군은 초등각 대칭군이라는 하나의 초군을 생성시킨다. 대표적으로, 4차원 민코프스키 초등각 대칭군은 단순초군 이다. 이 초군은 AdS/CFT 대응성에서 등장한다.
역사
[편집]펠릭스 알렉산드로비치 베레진(러시아어: Фе́ликс Алекса́ндрович Бере́зин)과 게오르기 이사코비치 카츠(러시아어: Георгий Исаакович Кац)가 1970년에 도입하였다.[2]
같이 보기
[편집]각주
[편집]- ↑ Frappat, L.; A. Sciarrino, P. Sorba (1996년 7월). “Dictionary on Lie superalgebras” (영어). arXiv:hep-th/9607161. Bibcode:1996hep.th....7161F.
- ↑ Березин, Феликс Александрович; Кац, Георгий Исаакович (1970). “Группы Ли с коммутирующими и антикоммутирующими параметрами”. 《Математический сборник》 (러시아어) 82 (3): 343–351. MR 265520. Zbl 0244.22014.
- Musson, Ian M. (2012). 《Lie Superalgebras and Enveloping Algebras》 (영어). Graduate Studies in Mathematics 131. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6867-6. MR 2906817. Zbl 1255.17001.[깨진 링크(과거 내용 찾기)]
- Cheng, Shun-Jen; Weiqiang Wang (2010년 1월). “Dualities for Lie superalgebras” (영어). arXiv:1001.0074. Bibcode:2010arXiv1001.0074C.
- Leites, D. A. (1985년 9월). “Lie superalgebras”. 《Journal of Soviet Mathematics》 (영어) 30 (6): 2481–2512. doi:10.1007/BF02249121. ISSN 0090-4104.
- Kac, Victor G. (1977년 10월). “Lie superalgebras”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 26 (1): 8–96. doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2. ISSN 0001-8708. MR 0486011.
- Kac, Victor G. (1977년 2월). “A sketch of Lie superalgebra theory”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 53 (1): 31–64. Bibcode:1977CMaPh..53...31K. doi:10.1007/BF01609166. ISSN 0010-3616. MR 0442049. Zbl 0359.17009.
- Ramond, Pierre (2010년 5월). 《Group theory: a physicist’s survey》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 9780521896030. MR 2663568. Zbl 1205.20001.
- Rittenberg, V. (1978). 〈A guide to Lie superalgebras〉. 《Group theoretical methods in physics: Sixth International Colloquium, Tübingen, 1977》. Lecture Notes in Physics (영어) 79. Springer. 3–21쪽. doi:10.1007/3-540-08848-2_1. ISBN 978-3-540-08848-6. ISSN 0075-8450. 2015년 6월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 6월 23일에 확인함.
외부 링크
[편집]- “Super Lie algebra”. 《nLab》 (영어).
- “Supergroup”. 《nLab》 (영어).
- “Super-translation group”. 《nLab》 (영어).
- “General linear supergroup”. 《nLab》 (영어).
- “Orthosymplectic super Lie algebra”. 《nLab》 (영어).
- Ridout, David (2011년 4월 29일). “A (gentle) introduction to Lie superalgebras” (PDF) (영어). 2015년 3월 28일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 6월 22일에 확인함.
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