数学の統計学における分散（ぶんさん、英: variance）とは、データ（母集団、標本）、確率変数（確率分布）の標準偏差の自乗のことである。分散も標準偏差と同様に散らばり具合を表し^[1]、標準偏差より分散の方が計算が簡単なため、計算する上で分散を用いることも多い。

分散は具体的には、平均値からの偏差の2乗の平均に等しい。データ x₁, x₂, …, x_n の分散 s² は

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n))\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x)))^{2))$

ここで x は平均値を表す。

分散が 0 であることは、データの値が全て等しいことと同値である。データの分散は二乗平均から平均の2乗を引いた値に等しくなる。

確率変数 X の分散 V[X]^{[注 1]}は、X の期待値を E[X] で表すと

V[X] = E[(X − E[X])²]

となる^[2]。 確率変数の分散は確率変数の2次の中心化モーメントである。

統計学では、記述統計学においては標本の散らばり具合を表す指標として標本分散（ひょうほんぶんさん、英: sample variance）を、推計統計学においては不偏分散（ふへんぶんさん、英: unbiased variance）・不偏標本分散（ふへんひょうほんぶんさん、英: unbiased sample variance）を用いる。

英語の variance（バリアンス）という語はロナルド・フィッシャーが1918年に導入した^[3]。

2乗可積分確率変数 X の分散は期待値を E[X] で表すと

${\displaystyle V[X]=E{\big [}(X-E[X])^{2}{\big ]))$

で定義される。これを展開して整理すると

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}V[X]&=E{\big [}(X-E[X])^{2}{\big ]}\\&=E{\big [}X^{2}-2XE[X]+(E[X])^{2}{\big ]}\\&=E[X^{2}]-2E{\big [}XE[X]{\big ]}+E{\big [}(E[X])^{2}{\big ]}\\&=E[X^{2}]-2E[X]E[X]+(E[X])^{2}(\because E[X]=Const)\\&=E[X^{2}]-(E[X])^{2}\\\end{alignedat))}$

とも書ける。また確率変数 X の特性関数を φ_X(t) = E[e^itX] とおくと（i は虚数単位）、これは 2階連続的微分可能で

${\displaystyle V[X]=-\varphi _{X}''(0)+(\varphi _{X}'(0))^{2))$

と表示することもできる。

チェビシェフの不等式から、任意の正の数 ε に対して

${\displaystyle P(|X-E[X]|>\varepsilon )\leq {\frac {V(X)}{\varepsilon ^{2))))$

が成り立つ。これは分散が小さくなるほど確率変数が期待値に近い値をとりやすくなることを示す大まかな評価である。

X, X₁, …, X_n を確率変数、a, b, a₁, …, a_n を定数とし、共分散を Cov[ · , · ] で表すと

• ${\displaystyle V[X]\geq 0}$（非負性）
• ${\displaystyle V[X+b]=V(X)}$（位置母数（英語版）に対する不変性）
• ${\displaystyle V[aX]=a^{2}V(X)}$（斉次性）
• ${\displaystyle V{\bigl [}\textstyle \sum \limits _{i}a_{i}X_{i}{\bigr ]}=\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]}$

を満たす。したがって、特に X₁, …, X_n が独立ならば、

${\displaystyle \operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]={\begin{cases}V(X_{i})&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{cases))}$

より

${\displaystyle V[X_{1}+\dotsb +X_{n}]=V[X_{1}]+\dotsb +V[X_{n}]}$

が成り立つ。

• 確率変数 X が一様分布 U(a, b) に従うとき、V(X) = (b − a)²/12
• 確率変数 X が正規分布 N(μ, σ²) に従うとき、V(X) = σ²
• 確率変数 X が二項分布 B(n, p) に従うとき、V(X) = np(1 − p)
• 確率変数 X がポアソン分布 Po(λ) に従うとき、V(X) = λ

推計統計学では、母集団の分散と標本の分散を区別する必要がある。

大きさが n である母集団 x₁, x₂, …, x_n に対して、平均値を μ で表すとき、偏差の自乗の平均値

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{n))\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2))$

を母分散（ぼぶんさん、英: population variance）と言う^[4]。

大きさが n である標本 x₁, x₂, …, x_n に対して、平均値を x で表すとき、偏差の自乗の平均値

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n))\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x)))^{2))$

で定義される s² を標本分散（ひょうほんぶんさん、英: sample variance）と言う。s は標準偏差と呼ばれる^[4]。

定義より、

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n))\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i))^{2}-({\bar {x)))^{2}={\overline {x^{2))}-({\bar {x)))^{2))$

となるから、標本分散は2乗の平均値と平均値の2乗との差に等しい。ただし、この計算では概して二乗平均が巨大になるため、浮動小数点数による近似計算を行う場合には大きな丸め誤差が生じる可能性がある（桁落ち）。このため、浮動小数点数を扱う場合には定義に従って偏差の二乗和を計算することが一般的である（あるいは一般の総和計算と同じくカハンの加算アルゴリズムやpairwise summation（英語版）のような手法により、誤差を小さくする工夫がなされることもある）。

一般に、標本分散の平均値は母分散より少し小さくなる。実際には、平均と分散を持つ同一分布からの無作為標本に対して、標本分散の期待値 E[s²] について、

${\displaystyle E[s^{2}]=\left(1-{\frac {1}{n))\right)\sigma ^{2))$

が成り立つ。そこで

${\displaystyle {\hat {\sigma ))^{2}={\frac {1}{n-1))\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x)))^{2}={\dfrac {1}{n-1))\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i))^{2}-{\dfrac {n}{n-1)){\bar {x))^{2))$

を用いると、平均値が母分散に等しくなる推定量が得られる。つまり母分散の不偏推定量となる。これを不偏標本分散（ふへんひょうほんぶんさん、英: unbiased sample variance）や不偏分散（ふへんぶんさん、英: unbiased variance）と呼ぶ^[4]。

上記の標本分散は不偏でないことを強調する場合偏りのある標本分散（英: biased sample variance）と言う。

なお、不偏標本分散を単に標本分散と呼ぶ文献もある。

定義から明らかに、標本の大きさが大きくなる程につれて偏りのある標本分散は不偏標本分散に近づく。

• 栗原伸一『入門統計学検定から多変量解析・実験計画法まで』オーム社、2011年。ISBN 978-4-274-06855-3。https://books.google.co.jp/books?id=r5JIE8QbPbAC。 
• 西岡康夫『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』オーム社、2013年。https://books.google.co.jp/books?id=AUY2AgAAQBAJ。 
• 日本数学会『数学辞典』岩波書店、2007年。ISBN 9784000803090。 
• JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, 日本規格協会, (1999), http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html 
• 伏見康治『確率論及統計論』河出書房、1942年。ISBN 9784874720127。http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204。 

• 標準偏差
• 統計量
• 確率密度関数
• 確率母関数（英語版）
• 分散分析
• 推計統計学
• 正規分布
• 中心極限定理
• ブラウン運動

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック–ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡変数 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数・ケンドールの順位相関係数）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 回帰木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクター回帰 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法（k-means++法） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定（カーネル） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉図 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存時間分析	生存時間関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
全般	統計 頻度主義統計学 統計学および機械学習の評価指標
その他	方向統計学 S言語 R言語 統計検定 社会調査士 JDLA Deep Learning For GENERAL JDLA Deep Learning for ENGINEER 実用数学技能検定 品質管理検定
カテゴリ