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発散定理 (はっさんていり、英語 : divergence theorem )は、ベクトル場 の発散 を、その場によって定義される流れの面積分 に結び付けるものである。
ガウスの定理 (ガウスのていり、英語 : Gauss' theorem )とも呼ばれる。
1762年 にジョゼフ=ルイ・ラグランジュ によって発見され、その後カール・フリードリヒ・ガウス (1813年)、ジョージ・グリーン (1825年)、ミハイル・オストログラツキー (1831年)によって、それぞれ独立に再発見された[ 1] [ 注 1] 。オストログラツキーは、またこの定理に最初の証明を与えた人物でもある。
数式を用いて述べると次のようになる。まず、R 3 で定義された滑らか なベクトル場
F
=
(
F
1
,
F
2
,
F
3
)
{\displaystyle {\boldsymbol {F))=(F_{1},F_{2},F_{3})}
に対して F の発散 div F を
div
F
:=
∂
F
1
∂
x
+
∂
F
2
∂
y
+
∂
F
3
∂
z
{\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F)):={\frac {\partial F_{1)){\partial x))+{\frac {\partial F_{2)){\partial y))+{\frac {\partial F_{3)){\partial z))}
と定義する。発散は∇(ナブラ ;nabla)を用いると,
div
F
=
∇
⋅
F
{\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F))={\boldsymbol {\nabla ))\cdot {\boldsymbol {F))}
と表され,ベクトルの内積(ドット積 )となる.
V を R 3 において滑らか(ここでは C 1 級でよい)な境界 ∂V をもつ有界な領域(= 連結開集合 )とし、F を V の閉包 で定義されている滑らかなベクトル場とすると、
∭
V
div
F
d
x
d
y
d
z
=
∬
∂
V
F
⋅
n
d
S
{\displaystyle \iiint _{V}\operatorname {div} {\boldsymbol {F))\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iint _{\partial V}{\boldsymbol {F))\!\cdot \!{\boldsymbol {n))\,\mathrm {d} S}
が成り立つ。ここで、n は V の外向き単位法ベクトルとする。なお、定理が成り立つためには ∂V が区分的に C 1 級であれば十分である。
この定理は div という演算が発散(あるいは湧出量 )と呼ばれる所以でもある。右辺はベクトル場が領域 V の表面から流出する量であり、それが左辺の表す領域全体でのベクトル場の発散の値の積分に等しいことを表している。
この定理は、一般的なストークスの定理 から導くことができる。
発散定理は、以下のように一般化されたストークスの定理 において、2次微分形式 のωを考えた場合に相当する。
∫
∂
V
ω
=
∫
V
d
ω
{\displaystyle \int _{\partial V}\omega =\int _{V}\mathrm {d} \omega }
ここでωは
ω
:=
F
1
d
y
∧
d
z
+
F
2
d
z
∧
d
x
+
F
3
d
x
∧
d
y
{\displaystyle \omega :=F_{1}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+F_{2}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+F_{3}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
であり、その外微分 は次式で与えられる。
d
ω
:=
(
∂
F
1
∂
x
+
∂
F
2
∂
y
+
∂
F
3
∂
z
)
d
x
∧
d
y
∧
d
z
{\displaystyle \mathrm {d} \omega :={\biggl (}{\frac {\partial F_{1)){\partial x))+{\frac {\partial F_{2)){\partial y))+{\frac {\partial F_{3)){\partial z)){\biggr )}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
発散定理を電磁気学 に応用して、電荷 から湧き出す電場 についてのガウスの法則 を数学的に記述できる(⇒マクスウェルの方程式 )。
∮
S
E
⋅
d
S
=
Q
ε
0
=
1
ε
0
∫
V
ρ
d
V
{\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {E))\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S))={\frac {Q}{\varepsilon _{0))}={\frac {1}{\varepsilon _{0))}\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V}
積分形表現
div
E
=
ρ
ε
0
{\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {E))={\frac {\rho }{\varepsilon _{0))))
微分形表現(静電場のガウスの発散定理)
^ オストログラツキーは発散定理を1828年にパリで口頭報告しているものの、その内容は公刊されず、1831年のサンクトペテルブルク での学会報告のみが残されている[ 2] 。
^
C. F. Gauss, Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungs-kräfte , Res. Beob. magn. Vereins 4 , 1, 1840
^ M. Ostorgradsky, Note sur la théorie de la chaleur, Mém. Acad Sci. St.-Pétersb . 1 , 129, 1831; Deuxième note sur la théorie de la chaleur, ibid . 1 , 123,1831