陰函数微分による証明 — f(x) = g(x)/h(x) ならば g(x) = f(x)h(x) であるから、積の法則により ${\textstyle g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x)}$ となり、f′ について解けば $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)))\\&={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)))\cdot h'(x)}{h(x)))\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2))}\end{aligned))}$$ を得る。

連鎖律による証明 — f(x) = g(x)/h(x) = g(x)⋅h(x)⁻¹ と見れば、積の法則により ${\textstyle f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\color {green}(h(x)^{-1})'}$ であり、右辺第二項の微分は連鎖律のもとで冪の微分法則（英語版）を用いれば、結局 $${\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\cdot \color {green}(-1)h(x)^{-2}h'(x)}$$ を得る。整理すれば $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)}{h(x)))-{\frac {g(x)h'(x)}{h(x)^{2))}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2))}\end{aligned))}$$ となる。