下記テーマに関する記事の一部
解析学
基本定理 関数の極限 連続性 平均値の定理
微分法 定義 導関数 (一般化（英語版）) 微分 無限小 関数の 全 概念 微分の記法 二階導関数 三階導関数（英語版） 変数変換（英語版） 陰関数の微分 Related rates（英語版） テイラーの定理 法則と恒等式（英語版） 和（英語版） 積 合成 冪（英語版） 商 一般ライプニッツ ファー・ディ・ブルーノの公式（英語版）
積分法 積分一覧 定義 不定積分 積分 (広義) リーマン積分 ルベーグ積分 線積分 複素線積分 道具 部分 Discs（英語版） 円殻（バウムクーヘン） 置換 三角置換（英語版） 部分分数（英語版） 順序（英語版） 漸化式
級数 幾何 (算術幾何) 調和 交代 冪 二項 テイラー 収束判定法（英語版） 項の極限（項判定法）（英語版） 比 冪根 積分 比較 極限比較（英語版） 交代級数（英語版） 凝集 ディリクレ アーベル（英語版）
ベクトル 勾配 発散 回転 ラプラシアン 方向微分 公式（英語版） 定理 発散 勾配（英語版） グリーン ケルビン・ストークス
多変数 形式と枠組み 行列（英語版） テンソル 外 幾何学的（英語版） 定義 偏微分 多重積分 線積分 面積分 体積分 ヤコビアン ヘッセ行列
特殊化 分数階微積分 解析接続 マリアヴァン（英語版） 確率（英語版） 変分
その他 解析学記号
表 話 編 歴

微分法において連鎖律（れんさりつ、英: chain rule）あるいは合成関数の微分公式とは、複数の関数が合成された合成関数を微分するとき、その導関数がそれぞれの導関数の積で与えられるという関係式のこと。

${\displaystyle f}$ を開区間 ${\displaystyle I}$ 上の微分可能な関数、${\displaystyle g}$ を開区間 ${\displaystyle J}$ 上の微分可能な関数とするとき、${\displaystyle g}$ と ${\displaystyle f}$ が合成可能（つまり ${\displaystyle g(J)\subset I}$ ）ならば合成関数 ${\displaystyle f\circ g}$ も開区間 ${\displaystyle J}$ 上で微分可能であり、導関数は関係式

${\displaystyle (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)}$

を満たす。これを連鎖律という^[1]。ライプニッツの記法では

${\displaystyle {\frac {df}{dx))={\frac {df}{dg))\cdot {\frac {dg}{dx))}$

となる。積分法においては、置換積分に対応する。

${\displaystyle {\begin{cases}y=\log {u}\\u=\cos {x}\end{cases))}$

${\displaystyle y=\log({\cos {x)))}$ を ${\displaystyle x}$ について微分する。連鎖律より

${\displaystyle {\frac {dy}{dx))={\frac {dy}{du))\cdot {\frac {du}{dx))}$

である。導関数 dy/du および du/dx を求める：

${\displaystyle {\frac {dy}{du))={\frac {1}{u))\,}$

${\displaystyle {\frac {du}{dx))=-\sin {x}\,}$

したがって

${\displaystyle {\frac {dy}{dx))={\frac {1}{u))\cdot (-\sin {x})=-{\frac {\sin {x)){u))=-{\frac {\sin {x)){\cos {x))}=-\tan {x))$

となる。

微分の定義より

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g)'(a)~&=\lim _{x\rightarrow a}{(f\circ g)(x)-(f\circ g)(a) \over x-a}\\&=\lim _{x\rightarrow a}{f(g(x))-f(g(a)) \over x-a}\\&=\lim _{x\rightarrow a}\left[{f(g(x))-f(g(a)) \over g(x)-g(a)}\cdot {g(x)-g(a) \over x-a}\right]\\&=\lim _{x\rightarrow a}{f(g(x))-f(g(a)) \over g(x)-g(a)}\cdot \lim _{x\rightarrow a}{g(x)-g(a) \over x-a}\\&=f'(g(a))\cdot g'(a)\end{aligned))}$

となる。これは一見正しそうに見えるかもしれないが、${\displaystyle a}$ のどれだけ近いところにも ${\displaystyle g(x)=g(a)}$ となる ${\displaystyle x}$ が存在する場合（例えば ${\displaystyle g(x)}$ が定数関数の場合）には、0除算が含まれるため、この証明は誤りである。

上の間違った証明を"修正"して正しい証明にするには、例えば次のようにする。

微分の定義より：

${\displaystyle (f\circ g)'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{x-a)).}$

しばらくの間 g(x) は a の近くの任意の x に対して g(a) と等しくないと仮定する。すると上の式は2つの因子の積に等しい：

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)))\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a)).}$

g が a の近くで振動するとき、a にいくら近づいても常に、さらに近い x が存在して g(x) が g(a) に等しいということが起こり得る。例えば、これは g(x) = x²sin(1 / x) に対して点 a = 0 の近くで起こる。これが起こるときにはいつでも、上の式は0による割り算を含むから定義されない。これに対処するためには、次のように関数 Q を導入する：

${\displaystyle Q(y)={\begin{cases}{\dfrac {f(y)-f(g(a))}{y-g(a))),&y\neq g(a),\\f'(g(a)),&y=g(a).\end{cases))}$

f ∘ g に対応する差分商は常に次に等しいことをこれから証明する：

${\displaystyle Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a)).}$

g(x) が g(a) に等しくないときにはいつでも、g(x) − g(a) という因子は打ち消し合うから明らかである。g(x) が g(a) に等しいときには、f(g(x)) は f(g(a)) に等しいから f ∘ g の微分商は 0 であり、上の積は f′(g(a)) 掛ける 0 に等しいから 0 である。したがって上の積はつねに微分商に等しい。 f ∘ g の a における微分が存在することを示しその値を決定するためには、上の積の x が a に行くときの極限が存在することを示しその値を決定するだけでよい。

これをするために、積の極限はその因子の極限が存在すれば存在することを思い出そう。これが起こるとき、これら 2つの因子の積の極限は因子の極限の積に等しくなる。2つの因子は Q(g(x)) と (g(x) − g(a)) / (x − a) である。後者は g の a における微分商であり、仮定により g は a において微分可能であるので、x が a に向かうときのその極限は存在し g′(a) に等しい。

Q(g(x)) を調べることが残っている。Q は f が定義されているときにはいつでも定義されている。さらに、仮定により f は g(a) において微分可能なので、Q は g(a) において連続である。g は a において微分可能であるから a において連続であり、それゆえ Q ∘ g は a において連続である。したがって x が a に行くときのその極限は存在し、 Q(g(a)) に等しく、それは f′(g(a)) である。

これで両方の因子の極限が存在しそれらはそれぞれ f′(g(a)) と g′(a) に等しいことが示された。したがって f ∘ g の a における微分は存在し f′(g(a))g′(a) に等しい。

• 杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版、1980年。ISBN 978-4-13-062005-5。https://books.google.co.jp/books?id=M6waEAAAQBAJ。 

• 微分
• 偏微分
• 置換積分
• ヤコビ行列 ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial (z_{1},\dots ,z_{l})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})))={\frac {\partial (z_{1},\dots ,z_{l})}{\partial (y_{1},\dots ,y_{m}))){\frac {\partial (y_{1},\dots ,y_{m})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})))}$