K·p微扰论又名K·p微扰法,是固体物理中用来计算固体能带结构和光学性质的一种微扰方法,因微扰哈密顿算符中出现了正比于简约波矢(k)与动量算符(p)内积的项而得名。该方法可以近似估计半导体中的电子在导带底的有效质量。[1][2]
在晶体中,势场具有周期性,如果给其中电子的波函数加以周期性边界条件,则波函数将具有布洛赫波的形式:[1]
![{\displaystyle \psi _{n,\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }u_{n,\mathbf {k} ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4090c63c8e2e053f1c8f882212f7a657578362)
其中
是简约波矢,
是周期函数,且周期与晶格的周期完全相同。[1]
将该表达式代入定态薛定谔方程,可得
满足的方程。该方程在形式上类似于定态薛定谔方程:[1]
![{\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b99508119e8e47563523530f6e8ed96d03614a0)
其“哈密顿算符”为:
K·p微扰论适用于简约波矢
较小的情形下。此时可将“哈密顿算符”中不含有简约波矢
的项视为无微扰的“哈密顿算符”,把含有简约波矢
的项视为“微扰哈密顿算符”,即:[1]
![{\displaystyle H_{\mathbf {k} }=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2)){2m))+V,\;\;H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2)){2m))+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7a912f7340fa3b4856bd447a6f1bff6b6d42a5)
利用微扰方法可以用所有
的线性组合表达某个能带的
,进而给出能量
与简约波矢
的近似关系。如果
是不简并的,考虑到一级修正后
的表达式为:[1]
![{\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m))\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0))}u_{n',0))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ad4fdb766307957c0c5c27264e6587fe6c65b5)
考虑二级修正以后能量的表达式为:[1]
![{\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2)){2m))+{\frac {\hbar ^{2)){m^{2))}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2)){E_{n,0}-E_{n',0))}=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2)){2m))+{\frac {\hbar ^{2)){m^{2))}\sum _{n'\neq n}\sum _{i,j}{\frac {|\langle u_{n,0}|p_{i}|u_{n',0}\rangle ||\langle u_{n,0}|p_{j}|u_{n',0}\rangle |}{E_{n,0}-E_{n',0))}k_{i}k_{j))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2505cf836dd2fa9c654fdd3e79b80c68a95d1b)
电子的倒有效质量张量近似为:[1]
![{\displaystyle ({\frac {1}{m^{\star ))})_{ij}={\frac {1}{m))\delta _{ij}+{\frac {2}{m^{2))}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|p_{i}|u_{n',0}\rangle ||\langle u_{n,0}|p_{j}|u_{n',0}\rangle |}{E_{n,0}-E_{n',0))))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3be41a0f98facfa5bbca8b53bbfb16573bf79e9)
在直接带隙半导体中,导带底部的电子对应的简约波矢为零,它的有效质量可运用K·p微扰论近似计算。微扰论中最近邻态的微扰贡献最大。导带底和价带顶的态互为最近邻态,仅考虑彼此的微扰贡献,K·p微扰论的结果可进一步简化为:[1]
![{\displaystyle ({\frac {1}{m^{\star ))})_{ij}={\frac {1}{m))\delta _{ij}+{\frac {2}{m^{2))}{\frac {|\langle u_{v,0}|p_{i}|u_{c,0}\rangle ||\langle u_{c,0}|p_{j}|u_{v,0}\rangle |}{E_{g))))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bedd85626e7b63a39a97a8abc48cdf095dfd21)
式中
为导带底与价带顶的能量差,即带隙;脚标v和c分别指代价带顶与导带底的态。如果所考虑的导带底是旋转对称的,倒有效质量张量可以用一个标量代替:[1]
![{\displaystyle {\frac {1}{m^{\star ))}={\frac {1}{m))+{\frac {2}{m^{2))}\sum _{i}{\frac {|\langle u_{v,0}|p_{i}|u_{c,0}\rangle |^{2)){E_{g))))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d831862d816336ba2e2a58a40b7897d48aeecc3d)
表明半导体的带隙越小,导带底电子有效质量也越小。对通常的半导体来说,导带底电子的有效质量远小于电子的真实质量,且矩阵元与电子真实质量的比值近似为一个常量10eV。故:[1]
![{\displaystyle {m^{\star ))/m=E_{g}/20ev}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a87253dd83b58b6ce2b38d763f19a42633799a)
该公式给出的导带底电子有效质量近似值与绝大多数IV族、III-V族、II-VI族直接带隙半导体实测值的误差在15%以内。[3]
如果考虑自旋-轨道作用,仍然可以用类似方法处理。此时“哈密顿算符”应写为:[2]
![{\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2)){2m))+{\frac {\hbar }{m))\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2)){2m))+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2))}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca02797763c252453baf2b08305a2d2dd7106a5)
如果
有简并,需要使用简并微扰理论。[4]Luttinger–Kohn模型可以处理这类问题。[5]