- 本条目中,向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如,位置向量通常用
表示;而其大小則用
來表示。
在哈密頓力學裏,正則變換(canonical transformation)是一種正則坐標的改變,
,而同時維持哈密頓方程的形式,雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。
點變換(point transformation)將廣義坐標
變換成廣義坐標
,點變換方程式的形式為
;
其中,
是時間。
在哈密頓力學裏,由於廣義坐標與廣義動量
同樣地都是自變量(independent variable),點變換的定義可以加以延伸,使變換方程式成為
,
;
其中,
是新的廣義動量。
為了分辨這兩種不同的點變換,稱前一種點變換為位形空間點變換,而後一種為相空間點變換。
在哈密頓力學裏,正則變換將一組正則坐標
變換為一組新的正則坐標
,而同時維持哈密頓方程式的形式(稱為形式不變性)。原本的哈密頓方程式為
,
;
新的哈密頓方程式為
,
;
其中,
、
分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。
思考一個物理系統的哈密頓量
。
假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標
無關,則稱
為可略坐標(ignorable coordinate),或循環坐標(cyclic coordinate):
。
在哈密頓方程式中,廣義動量對於時間的導數是
。
所以,廣義動量
是常數
。
假設一個系統裏有
個廣義坐標是可略坐標。找出這
個可略坐標,則可以使這系統減少
個變數;使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。
- 主項目:正則變換生成函數
採取一種間接的方法,稱為生成函數方法,從
變換到
。為了要保證正則變換的正確性,第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理
、
。
那麼,必須令
;
其中,
是標度因子,
是生成函數。
假若一個變換涉及標度因子,則稱此變換為標度變換(scale transformation)。一般而言,標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1,則稱此正則變換為延伸正則變換(extended canonical transformation);假若標度因子等於1,則稱為正則變換。
任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個
的延伸正則變換表示為
。
則可以設定另外一組變數與哈密頓量:
、
、
、
;其中,
是用來刪除
的常數,
。經過一番運算,可以得到
、
、
。(1)
顯然地,這變換符合哈密頓方程式。所以,任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。
假若正則變換不顯性含時間,則稱為設限正則變換(restricted canonical transformation)。
生成函數
的參數,除了時間以外,一半是舊的正則坐標;另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定,一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換,從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換
保證是正則變換。
第一型生成函數
只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關,
。
代入方程式(1)。展開生成函數對於時間的全導數,
。
新廣義坐標
和舊廣義坐標
都是自變量,其對於時間的全導數
和
互相無關,所以,以下
個方程式都必須成立:
,(2)
,(3)
。(4)
這
個方程式設定了變換
,步驟如下:
第一組的
個方程式(2),設定了
的
個函數方程式
。
在理想情況下,這些方程式可以逆算出
的
個函數方程式
。(5)
第二組的
個方程式(3),設定了
的
個函數方程式
。
代入函數方程式(5),可以算出
的
個函數方程式
。(6)
從
個函數方程式(5)、(6),可以逆算出
個函數方程式
,
。
代入新哈密頓量
的方程式(4),可以得到
。
第二型生成函數
的參數是舊廣義坐標
、新廣義動量
與時間:
;
以下
方程式設定了變換
:
,
,
。
第三型生成函數
的參數是舊廣義動量
、新廣義坐標
與時間:
。
以下
方程式設定了變換
:
,
,
。
第四型生成函數
的參數是舊廣義動量
、新廣義動量
與時間:
。
以下
方程式設定了變換
:
,
,
。
第一型生成函數有一個特別簡易案例:
。
生成函數的導數分別為
,
。
舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同:
。
再擧一個比較複雜的例子。讓
;
這裏,
是一組
個函數。
答案是一個廣義坐標的點變換,
。
正則變換必須滿足哈密頓方程式不變;哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外,正則變換也有幾個重要的不變量。
辛標記提供了一種既簡單,又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個
的豎矩陣
:
。
變數向量
將
與
包裝在一起。這樣,哈密頓方程式可以簡易的表示為
;
這裏,
是辛連結矩陣、
是哈密頓量。
應用辛標記於正則變換,正則坐標會從舊正則坐標
改變成新正則坐標
,
;哈密頓量也從舊的哈密頓量
改變成新的哈密頓量
,
;但是,哈密頓方程式的形式仍舊維持不變:
;
這裏,
。
用第一型生成函數
,則
。
取
關於時間
的導數,
;
這裏,
是亞可比矩陣,
。
代入哈密頓方程式,
;
假若限制正則變換為設限正則變換,也就是說,顯性地不含時間,解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間,則仍舊能得到與下述同樣的答案[1],這是一個很好的偏導數習題。現在,限制這正則變換為設限正則變換,則簡化後的方程式為
。
而
,所以,
。
代回前一個方程式,取
的係數,則可以得到
。
經過一番運算,
;
;
可以求出辛條件:
。
在這裏,得到了正則變換的辛條件:一個變換是正則變換,若且唯若辛條件成立。
在相空间裏,兩個函數
關於正則坐標
的帕松括號定義為
。
用辛標記,
。
立刻,可以得到下述關係:
,
。
定義基本帕松括號
為一個方矩陣,其中,元素
的值是
。那麼,
。
思考一個變換
。新坐標的基本帕松括號為
。
這兩個正則坐標的亞可比矩陣
是
。
代入前一個方程式,則
。
假若這變換是正則變換,辛條件
必須成立,
。
相反地,假若
,則辛條件成立,這變換是正則變換。
所以,一個變換是正則變換,若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時,我們可以忽略下標符號,直接表示為
,而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。
思考兩個函数
對於正則坐標
的泊松括號
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi ))&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi ))))\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega ))\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi ))))\\&=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi ))}{\partial {\boldsymbol {\xi )))){\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi ))))\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega ))\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi ))}{\partial {\boldsymbol {\xi )))){\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi ))))\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi ))))\right)^{T}M^{T}{\boldsymbol {\Omega ))M{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi ))))\ \ _{\circ }\\\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25a1090bbf9aba8df6e142106bc46aa4493fa98)
假若這變換是正則變換,辛條件
必須成立,
。
所以,任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號,都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時,可以忽略下標符號,直接表示為
,而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。
- ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 384. ISBN 0201657023 (英语).