證明
根據上面的四平方和恆等式及算術基本定理,可知只需證明質數可以表示成四个整数的平方和即可。
,因此只需證明奇質數可以表示成四个整数的平方和。
根據引理一,奇質數必有正倍數可以表示成四个整数的平方和。在這些倍數中,必存在一個最小的。設該數為。又從引理一可知。
證明不會是偶數
設是偶數,且。由奇偶性可得知必有兩個數或四個數的奇偶性相同。不失一般性設的奇偶性相同,的奇偶性相同,均為偶數,可得出公式:
,與是最小的正整數使得的假設可以表示成四个整数的平方和不符。
證明
現在用反證法證明。設。
- 不可整除的最大公因數,否則可整除,則得是的因數,但且p為質數,矛盾。
故存在不全為零、絕對值小於(注意是奇數在此的重要性)整數的使得 。
可得 ,其中是正整數且小於。
- 下面證明可以表示成四个整数的平方和,從而推翻假設。
令,根据四平方和恆等式可知是的倍數,令,
矛盾。
引理一的證明
將和為的剩餘兩個一組的分開,可得出組,分別為。
將模的二次剩餘有個,分別為。
若是模的二次剩餘,選取使得,則,定理得證。
若不屬於模的二次剩餘,則剩下組,分別為,而模的二次剩餘仍有個,由於 ,根據抽屜原理,存在。