唯一素数
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唯一素数（Unique prime）是指一個不為2、5（在十進位時），有以下性質的質數p：不存在其他質數q，其倒數1 / q的循环節長度和1 / p的循环節長度相等。唯一素数是在1980年代由Samuel Yates提出。
可以證明素数p其倒數的循环節長度為n若且唯若存在一自然數c使得下式成立（下面内容仅限于十进制范畴）：
其中Φn(x)為n次的分圓多項式。至2010年為止，已經找到逾50個唯一素数或者有此性質的可能質數，但是小於10100的唯一素数只有23個。以下是這些唯一素数（OEIS數列A040017）及其循环節位數（OEIS數列A051627）：
| 倒數循环節長度 | 素数 |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 11 |
| 3 | 37 |
| 4 | 101 |
| 10 | 9,091 |
| 12 | 9,901 |
| 9 | 333,667 |
| 14 | 909,091 |
| 24 | 99,990,001 |
| 36 | 999,999,000,001 |
| 48 | 9,999,999,900,000,001 |
| 38 | 909,090,909,090,909,091 |
| 19 | 1,111,111,111,111,111,111 |
| 23 | 11,111,111,111,111,111,111,111 |
| 39 | 900,900,900,900,990,990,990,991 |
| 62 | 909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 |
| 120 | 100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001 |
| 150 | 10,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001 |
| 106 | 9,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 |
| 93 | 900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991 |
| 134 | 909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 |
| 294 | 142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143 |
| 196 | 999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001 |
倒數循环節長度294位的唯一素数類似7的倒數（0.142857142857142857...）。
接續上表的第24個唯一素数有128位，倒數循环節長度為320位，可以寫成(932032)2+1，其中下標n表示前面的一個數字或一組數字會重覆出現n次。
所有循環單位素数都是唯一素数。依照循環單位素数及循環單位可能素數出現的頻率來看，唯一素数非常的少見，不過數學家們仍強烈推論有無窮多個唯一素数。
至2010年為止，循環單位(10270343-1)/9是已知最大的可能唯一素数[1]。
至1996年為止，確定是質數的最大唯一素数是(101132 + 1)/10001，若用前文中的表示法，可以表示為(99990000)141+ 1，其倒數循环節長度為為2264位，後來陸續證明更大的唯一素数，至2010年為止，確定是質數的最大唯一素数有10081位數[2]。
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 41, 43, 73, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 683, ...... （OEIS數列A144755）：
其循環節長度分別為： 2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 5, 20, 14, 9, 7, 15, 24, 16, 30, 21, 22, ......（OEIS數列A161508）：
這當中包含了所有費馬質數(循環節長度為2的乘方)，梅森質數(循環節長度為質數)及瓦格斯塔夫質數(循環節長度為奇質數的兩倍)
以下為不超過264之二進制唯一質數列表：
| 倒數循环節長度 | 素数 | 二進位表示法 |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 11 |
| 4 | 5 | 101 |
| 3 | 7 | 111 |
| 10 | 11 | 1011 |
| 12 | 13 | 1101 |
| 8 | 17 | 1 0001 |
| 18 | 19 | 1 0011 |
| 5 | 31 | 1 1111 |
| 20 | 41 | 10 1001 |
| 14 | 43 | 10 1011 |
| 9 | 73 | 100 1001 |
| 7 | 127 | 111 1111 |
| 15 | 151 | 1001 0111 |
| 24 | 241 | 1111 0001 |
| 16 | 257 | 1 0000 0001 |
| 30 | 331 | 1 0100 1011 |
| 21 | 337 | 1 0101 0001 |
| 22 | 683 | 10 1010 1011 |
| 26 | 2,731 | 1010 1010 1011 |
| 42 | 5,419 | 1 0101 0010 1011 |
| 13 | 8,191 | 1 1111 1111 1111 |
| 34 | 43,691 | 1010 1010 1010 1011 |
| 40 | 61,681 | 1111 0000 1111 0001 |
| 32 | 65,537 | 1 0000 0000 0000 0001 |
| 54 | 87,211 | 1 0101 0100 1010 1011 |
| 17 | 131,071 | 1 1111 1111 1111 1111 |
| 38 | 174,763 | 10 1010 1010 1010 1011 |
| 27 | 262,657 | 100 0000 0010 0000 0001 |
| 19 | 524,287 | 111 1111 1111 1111 1111 |
| 33 | 599,479 | 1001 0010 0101 1011 0111 |
| 46 | 2,796,203 | 10 1010 1010 1010 1010 1011 |
| 56 | 15,790,321 | 1111 0000 1111 0000 1111 0001 |
| 90 | 18,837,001 | 1 0001 1111 0110 1110 0000 1001 |
| 78 | 22,366,891 | 1 0101 0101 0100 1010 1010 1011 |
| 62 | 715,827,883 | 10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 |
| 31 | 2,147,483,647 | 111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 |
| 80 | 4,278,255,361 | 1111 1111 0000 0000 1111 1111 0000 0001 |
| 120 | 4,562,284,561 | 1 0000 1111 1110 1110 1111 0000 0001 0001 |
| 126 | 77,158,673,929 | 1 0001 1111 0111 0000 0011 1110 1110 0000 1001 |
| 150 | 1,133,836,730,401 | 1 0000 0111 1111 1101 1110 1111 1000 0000 0010 0001 |
| 86 | 2,932,031,007,403 | 10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 |
| 98 | 4,363,953,127,297 | 11 1111 1000 0000 1111 1110 0000 0011 1111 1000 0001 |
| 49 | 4,432,676,798,593 | 100 0000 1000 0001 0000 0010 0000 0100 0000 1000 0001 |
| 69 | 10,052,678,938,039 | 1001 0010 0100 1001 0010 0101 1011 0110 1101 1011 0111 |
| 65 | 145,295,143,558,111 | 1000 0100 0010 0101 0010 1001 0110 1011 0101 1011 1101 1111 |
| 174 | 96,076,791,871,613,611 | 1 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0100 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 |
| 77 | 581,283,643,249,112,959 | 1000 0001 0001 0010 0010 0110 0100 1100 1101 1001 1011 1011 0111 0111 1111 |
| 93 | 658,812,288,653,553,079 | 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0111 |
| 122 | 768,614,336,404,564,651 | 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 |
| 61 | 2,305,843,009,213,693,951 | 1 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 |
| 85 | 9,520,972,806,333,758,431 | 1000 0100 0010 0001 0100 1010 0101 0010 1011 0101 1010 1101 0111 1011 1101 1111 |
| 192 | 18,446,744,069,414,584,321 | 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 |
參考資料
[编辑]- ^ PRP Records: Probable Primes Top 10000. [2013-01-11]. （原始内容存档于2010-02-25）.
- ^ The Top Twenty Unique; Chris Caldwell. [2013-01-11]. （原始内容存档于2020-11-20）.
外部連結
[编辑]- The Prime Glossary: Unique prime（页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Prime Top Tens（页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Unique Period Primes（页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Factorization of 11...11 (Repunit)
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