快樂數
快樂數有以下的特性:在給定的進位制下,該數字所有數字平方和(數位的平方和),得到的新數再次求所有數位的平方和,如此重複進行,最終結果必為1。
以十進位為例:
- 2 8 → → →
- 3 2 → → →
- 3 7 → → → → → → → →
- 5 6 → → → → → → → → → →
因此28和32是快樂數,而在37和56的計算過程中,數字會重複出現,繼續計算的結果只會是上述數字的循環(不快樂數循環),不會出現1,因此37和56不是快樂數。
不是快樂數的數稱為不快樂數(英語:unhappy number),所有不快樂數的數位平方和計算,最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。
在十進位下,100以內的快樂數有(OEIS數列A007770):1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100,共20個。
快樂數表格
[编辑]以下是小於100的快樂數表格,綠色數字表示它是快樂數,紅色數字表示它是不快樂數循環。
00 | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 |
10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 |
30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 |
40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 |
50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 |
60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 |
70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 |
80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |
90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 |
以下是100到小於200的快樂數表格,綠色數字表示它是快樂數,紅色數字表示它是不快樂數循環。
100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 |
110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 |
120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 |
130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 |
140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 |
150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 |
160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 |
170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 |
180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 |
190 | 191 | 192 | 193 | 194 | 195 | 196 | 197 | 198 | 199 |
以下是200到小於300的快樂數表格,綠色數字表示它是快樂數。
200 | 201 | 202 | 203 | 204 | 205 | 206 | 207 | 208 | 209 |
210 | 211 | 212 | 213 | 214 | 215 | 216 | 217 | 218 | 219 |
220 | 221 | 222 | 223 | 224 | 225 | 226 | 227 | 228 | 229 |
230 | 231 | 232 | 233 | 234 | 235 | 236 | 237 | 238 | 239 |
240 | 241 | 242 | 243 | 244 | 245 | 246 | 247 | 248 | 249 |
250 | 251 | 252 | 253 | 254 | 255 | 256 | 257 | 258 | 259 |
260 | 261 | 262 | 263 | 264 | 265 | 266 | 267 | 268 | 269 |
270 | 271 | 272 | 273 | 274 | 275 | 276 | 277 | 278 | 279 |
280 | 281 | 282 | 283 | 284 | 285 | 286 | 287 | 288 | 289 |
290 | 291 | 292 | 293 | 294 | 295 | 296 | 297 | 298 | 299 |
300以內的快樂數沒有其中一位是5,300以內的數其中有一位是5,它一定不是快樂數。
以下是300到小於400的快樂數表格,綠色數字表示它是快樂數。
300 | 301 | 302 | 303 | 304 | 305 | 306 | 307 | 308 | 309 |
310 | 311 | 312 | 313 | 314 | 315 | 316 | 317 | 318 | 319 |
320 | 321 | 322 | 323 | 324 | 325 | 326 | 327 | 328 | 329 |
330 | 331 | 332 | 333 | 334 | 335 | 336 | 337 | 338 | 339 |
340 | 341 | 342 | 343 | 344 | 345 | 346 | 347 | 348 | 349 |
350 | 351 | 352 | 353 | 354 | 355 | 356 | 357 | 358 | 359 |
360 | 361 | 362 | 363 | 364 | 365 | 366 | 367 | 368 | 369 |
370 | 371 | 372 | 373 | 374 | 375 | 376 | 377 | 378 | 379 |
380 | 381 | 382 | 383 | 384 | 385 | 386 | 387 | 388 | 389 |
390 | 391 | 392 | 393 | 394 | 395 | 396 | 397 | 398 | 399 |
快樂數的因數
[编辑]快樂數 | 因數 | 因數個數 | 奇偶數 | 數字和 |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 奇數 | 1 |
7 | 1、7 | 2 | 奇數 | 7 |
10 | 1、2、5、10 | 4 | 偶數 | 1 |
13 | 1、13 | 2 | 奇數 | 4 |
19 | 1、19 | 2 | 奇數 | 10 |
23 | 1、23 | 2 | 奇數 | 5 |
28 | 1、2、4、7、14、28 | 6 | 偶數 | 10 |
31 | 1、31 | 2 | 奇數 | 4 |
32 | 1、2、4、8、16、32 | 6 | 偶數 | 5 |
44 | 1、2、4、11、22、44 | 6 | 偶數 | 8 |
49 | 1、7、49 | 3 | 奇數 | 13 |
68 | 1、2、4、17、34、68 | 6 | 偶數 | 14 |
70 | 1、2、5、7、10、14、35、70 | 8 | 偶數 | 7 |
79 | 1、79 | 2 | 奇數 | 16 |
82 | 1、2、41、82 | 4 | 偶數 | 10 |
86 | 1、2、43、86 | 4 | 偶數 | 14 |
91 | 1、7、13、91 | 4 | 奇數 | 10 |
94 | 1、2、47、94 | 4 | 偶數 | 13 |
97 | 1、97 | 2 | 奇數 | 16 |
100 | 1、2、4、5、10、20、25、50、100 | 9 | 偶數 | 1 |
103 | 1、103 | 2 | 奇數 | 4 |
109 | 1、109 | 2 | 奇數 | 10 |
129 | 1、3、43、129 | 4 | 奇數 | 12 |
130 | 1、2、5、10、13、26、65、130 | 8 | 偶數 | 4 |
133 | 1、7、19、133 | 4 | 奇數 | 7 |
139 | 1、139 | 2 | 奇數 | 13 |
167 | 1、167 | 2 | 奇數 | 14 |
176 | 1、2、4、8、11、16、22、44、88、176 | 10 | 偶數 | 14 |
188 | 1、2、4、47、94、188 | 6 | 偶數 | 17 |
190 | 1、2、5、10、19、38、95、190 | 8 | 偶數 | 10 |
192 | 1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192 | 14 | 偶數 | 12 |
193 | 1、193 | 2 | 奇數 | 13 |
203 | 1、7、29、203 | 4 | 奇數 | 5 |
208 | 1、2、4、8、13、16、26、52、104、208 | 10 | 偶數 | 10 |
219 | 1、3、73、219 | 4 | 奇數 | 12 |
226 | 1、2、113、226 | 4 | 偶數 | 10 |
230 | 1、2、5、10、23、46、115、230 | 8 | 偶數 | 5 |
236 | 1、2、4、59、118、236 | 6 | 偶數 | 11 |
239 | 1、239 | 2 | 奇數 | 14 |
262 | 1、2、131、262 | 4 | 偶數 | 10 |
263 | 1、263 | 2 | 奇數 | 11 |
280 | 1、2、4、5、7、8、10、14、20、28、35、40、56、70、140、280 | 16 | 偶數 | 10 |
291 | 1、3、97、291 | 4 | 奇數 | 12 |
293 | 1、293 | 2 | 奇數 | 14 |
由表格可知:
- 128以內快樂數沒有因數3、6、9等數,如果128以內的數是3的倍數等,它一定不是快樂數。
- 1000以內快樂數沒有因數9、15、18、21等數,如果1000以內的數是9的倍數等,它一定不是快樂數。
- 1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除,即尾數是(25、50或75的數),如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數,它一定不是快樂數。
- 1000以內的快樂數有143個,只有7個是3的倍數,129、192、219、291、888、912、921,機率:5%。
- 1000以內的快樂數有143個,有其中一位是5的只有12個,356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665,機率:8%。
- 1000以內的快樂數有143個,只有3個是25的倍數,100、700、1000,機率:2%。
快樂質數
[编辑]在十進位下,300以內的快樂質數有(OEIS數列A035497):7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293,共15個。
快樂完全數
[编辑]已知的51個完全數,只有3個是快樂數:28、496、8128。
其他進制的快樂數
[编辑]- 三進制:1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 (OEIS數列A239320)
- 五進制:1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 (OEIS數列A240849)
- 任何進制(最小快樂數且大於1):2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72
其他进制的不快樂數循環
[编辑]- 2进制
- 每個數都是快樂數
- 3进制
- 2 → 11 → 2
- 在十进制中為2 → 4 → 2
- 2 → 11 → 2
- 4进制
- 每個數都是快樂數
- 5进制
- 4 → 31 →20 → 4
- 在十进制中為4 → 16 → 10 → 4
- 23 → 23
- 在十进制中為13 → 13
- 4 → 31 →20 → 4
- 6进制
- 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
- 在十进制中為5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5
- 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
- 7进制
- 2 → 4 → 22 → 11 → 2
- 在十进制中為2 → 4 → 16 → 8 → 2
- 34 → 34
- 在十进制中為25 → 25
- 2 → 4 → 22 → 11 → 2
- 8进制
- 4 → 20 → 4
- 在十进制中為4 → 16 → 4
- 5 → 31 → 12 → 5
- 在十进制中為5 → 25 → 10 → 5
- 32 → 15 → 32
- 在十进制中為26 → 13 → 26
- 4 → 20 → 4
- 9进制
- 58 → 108 → 72 → 58
- 在十进制中為53 → 89 → 65 → 53
- 55 → 55
- 在十进制中為50 → 50
- 58 → 108 → 72 → 58
- 10进制
- 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
- 11进制
- 75 → 68 → 91 → 75
- 在十进制中為82 → 74 → 100 → 82
- 23 → 12 → 5 → 23
- 在十进制中為25 → 13 → 5 → 25
- 75 → 68 → 91 → 75
- 12进制
- 22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22
- 在十进制中為26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26
- 21 → 5 → 21
- 在十进制中為25 → 5 → 25
- 22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22
- 13进制
- 79 → A0 → 79
- 在十进制中為100 → 130 → 100
- 36 → 36
- 在十进制中為45 → 45
- B2 → 98 → B2
- 在十进制中為145 → 125 → 145
- 67 → 67
- 在十进制中為85 → 85
- 14 → 14
- 在十进制中為17 → 17
- 79 → A0 → 79
- 16进制
- D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
- 在十进制中為13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13
- D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
其他性質
[编辑]- 快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數,不快樂數的情況也是。例如:49是快樂數,94、4900也是快樂數;123不是快樂數,321、10203、123000也不是快樂數
- 通过检查十进制中前一百万个快乐数,它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577,下限小于0.1138。[1]
- 十進位不快樂數的循環只有一個,是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。
Python程式碼
[编辑]#ishappy number
def ishappy(n):
a = []
while n not in a:
a.append(n)
n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])
return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'
相關條目
[编辑]外部連結
[编辑]- Happy number calculator - 可以線上判斷數字是否為快樂數〔英文〕
- ^ Gilmer, Justin. On the Density of Happy Numbers. Integers. 2013, 13 (2): 2. Bibcode:2011arXiv1110.3836G. arXiv:1110.3836
.
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