在數學和數學物理中，包立矩陣是一組三個2×2的么正厄米複矩陣，^[1]一般都以希臘字母σ來表示，但有時當他們在和同位旋的對稱性做連結時，會被寫成τ。他們在包立表像（σ_z表像）可以寫成：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix))\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix))\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix))\end{aligned))}$

這些矩陣是以物理學家沃爾夫岡·包立命名的。在量子力學中，它們出現在包立方程式中描述磁場和自旋之間交互作用的一項。所有的包立矩陣都是厄米矩陣，它們和單位矩陣I（有時候又被稱為為第零號包立矩陣σ₀），的線性張成為2×2厄米矩陣的向量空間。

從量子力學的角度來看，埃爾米特矩陣（算符）代表可觀測的物理量，因此，σ_k, k= 0,1,2,3的線性張成代表所有作用在二維希爾伯特空間的物理量所形成的空間。從包立本人的的研究來看，σ_k , k=1,2,3所代表的物理量是自旋在三維歐幾里得空間ℝ³中第k個座標軸的投影分量。

三個包立矩陣可以共同用一種單一形式表達：

${\displaystyle \sigma _{a}={\begin{bmatrix}\delta _{a3}&\delta _{a1}-i\delta _{a2}\\\delta _{a1}+i\delta _{a2}&-\delta _{a3}\end{bmatrix))}$

其中δ_ab是克羅內克δ函數。當a=b時，其值為1；當a≠b時，其值為0。

這些矩陣是對合的：

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix))=I}$

其中I是單位矩陣。

此外，包立矩陣的行列式和它們的跡分別為：

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\sigma _{i})&=-1\\\operatorname {tr} (\sigma _{i})&=0\end{aligned))}$

故從上述關係可以推得每個包立矩陣σ_i的本徵值分別為±1。

每個包立矩陣有兩個本徵值，+1和−1，其對應的歸一化本徵向量為：

${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2))}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{1}\end{bmatrix))&\psi _{x-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2))}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{-1}\end{bmatrix))\\\psi _{y+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2))}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{i}\end{bmatrix))&\psi _{y-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2))}\!\!\!\!\!&{\begin{bmatrix}{1}\\{-i}\end{bmatrix))\\\psi _{z+}=&{\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix))&\psi _{z-}=&{\begin{bmatrix}{0}\\{1}\end{bmatrix))\end{array))}$

包立向量定義為：

${\displaystyle {\vec {\sigma ))=\sigma _{1}{\hat {x))+\sigma _{2}{\hat {y))+\sigma _{3}{\hat {z))\,}$

這個定義提供了將一般向量基底對應到包立矩陣的基底的機制

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a))\cdot {\vec {\sigma ))&=(a_{i}{\hat {x))_{i})\cdot (\sigma _{j}{\hat {x))_{j})\\&=a_{i}\sigma _{j}{\hat {x))_{i}\cdot {\hat {x))_{j}\\&=a_{i}\sigma _{j}\delta _{ij}\\&=a_{i}\sigma _{i}\end{aligned))}$

相同的下標是使用了愛因斯坦求和約定。此外：

${\displaystyle \det {\vec {a))\cdot {\vec {\sigma ))=-{\vec {a))\cdot {\vec {a))=-|{\vec {a))|^{2))$。

包立矩陣有以下的對易關係：

${\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}\,,}$

以及以下的反對易關係。

${\displaystyle \{\sigma _{a},\sigma _{b}\}=2\delta _{ab}\,I}$。

其中ε_abc是列維-奇維塔符號，δ_ab是克羅內克函數，是I是2 ×2的單位矩陣。而一樣的，上面使用了愛因斯坦求和約定。

將包立矩陣的對易和反對易相加得：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]+\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}&=(\sigma _{a}\sigma _{b}-\sigma _{b}\sigma _{a})+(\sigma _{a}\sigma _{b}+\sigma _{b}\sigma _{a})\\2i\sum _{c}\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}+2\delta _{ab}I&=2\sigma _{a}\sigma _{b}\end{aligned))}$

因此可得：

${\displaystyle \sigma _{a}\sigma _{b}=i\sum _{c}\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}+\delta _{ab}I}$

為了避免符號重複，將a, b, c改成p, q, r，然後把上式和三維向量a_p和b_q內積，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{p}b_{q}\sigma _{p}\sigma _{q}&=a_{p}b_{q}\left(i\sum _{r}\varepsilon _{pqr}\,\sigma _{r}+\delta _{pq}I\right)\\a_{p}\sigma _{p}b_{q}\sigma _{q}&=i\sum _{r}\varepsilon _{pqr}\,a_{p}b_{q}\sigma _{r}+a_{p}b_{q}\delta _{pq}I\end{aligned))}$

將它轉換成向量積的表達式：

${\displaystyle ({\vec {a))\cdot {\vec {\sigma )))({\vec {b))\cdot {\vec {\sigma )))=({\vec {a))\cdot {\vec {b)))\,I+i({\vec {a))\times {\vec {b)))\cdot {\vec {\sigma ))}$

令${\displaystyle {\vec {a))=a{\hat {n))}$，而且${\displaystyle |{\hat {n))|=1}$對於偶數n可得：

${\displaystyle ({\hat {n))\cdot {\vec {\sigma )))^{2n}=I\,}$

另外加上之前求得在n = 1的情況可在n為奇數的情況：

${\displaystyle ({\hat {n))\cdot {\vec {\sigma )))^{2n+1}={\hat {n))\cdot {\vec {\sigma ))\,}$

利用矩陣指數的概念，加上正弦和餘弦的泰勒級數展開式，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia({\hat {n))\cdot {\vec {\sigma )))}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}\left[a({\hat {n))\cdot {\vec {\sigma )))\right]^{n)){n!))\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n))\cdot {\vec {\sigma )))^{2n)){(2n)!))+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n))\cdot {\vec {\sigma )))^{2n+1)){(2n+1)!))\\&=I\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n)){(2n)!))+i{\hat {n))\cdot {\vec {\sigma ))\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n+1)){(2n+1)!))\right)\\\end{aligned))}$

第一項的總和為${\displaystyle \cos {a))$，第二項括號裡的總和是${\displaystyle \sin {a))$，於是：

這可以看做是歐拉公式的類比。

另一個常用來區別包立矩陣的方法是用上標i，用不同的i來代表不同的包立矩陣，而下標則代表不同的矩陣元素。因此第i個包立矩陣的第α行第β列的元素可表示為σ ⁱ_αβ

利用這種表示方法，包立矩陣的完備性關係可寫作：

${\displaystyle {\vec {\sigma ))_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma ))_{\gamma \delta }\equiv \sum _{i=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{i}\sigma _{\gamma \delta }^{i}=2\delta _{\alpha \delta }\delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \delta }\ }$

有時習慣上將2×2單位舉寫成σ₀，也就是，σ⁰_αβ = δ_αβ。如此一來完備性關係可以更為簡潔的表示成：

${\displaystyle \sum _{i=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{i}\sigma _{\gamma \delta }^{i}=2\delta _{\alpha \delta }\delta _{\beta \gamma }\,}$

令算符P_ij為換位算符（或稱為置換算符）。對於兩個在張量積空間ℂ² ⊗ ℂ²中的自旋σ_i和σ_j該算符有：

${\displaystyle P_{ij}|\sigma _{i}\sigma _{j}\rangle =|\sigma _{j}\sigma _{i}\rangle \,}$

的關係。這個算符可以更進一步的用包立矩陣來表示：

${\displaystyle P_{ij}={\tfrac {1}{2))({\vec {\sigma ))_{i}\cdot {\vec {\sigma ))_{j}+1)\,}$

該算符有兩個本徵值，分別1和-1，這個算符可以用於代表某些哈密頓量的交互作用項，產生對稱和反對稱的本徵態分裂的效果。

{I, iσ₁, iσ₂, iσ₃}的實數張成與四元數ℍ的實代數同構，可透過下列映射得到對應關係（注意到包立矩陣的負號）：

${\displaystyle 1\mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}.}$

另外一種方式的映射為將包立矩陣的次序反轉^[2]

${\displaystyle 1\mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto i\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto i\sigma _{1}.}$

既然單位四元數與SU(2)為群同構，此亦代表包立矩陣也可用來描述SU(2)。從SU(2)到SO(3)的2對1同態性，也可以用包立矩陣來表述。

四元數構成可除代數——所有非零元素皆有反元素，然而包立矩陣並非如此。包立矩陣生成的代數的四元數版，參見複四元數，其共有8個實維度。

• 四元數
• 包立方程式
• 龐加萊群
• 蓋爾曼矩陣
• 代數幾何

• Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 0-8053-8714-5. 
• Schiff, Leonard I. Quantum Mechanics. McGraw-Hill. 1968. ISBN 978-0070552876. 
• Leonhardt, Ulf. Essential Quantum Optics. Cambridge University Press. 2010. ISBN 0-521-14505-8.