AKS素性测试（又称Agrawal–Kayal–Saxena素性测试和Cyclotomic AKS test）是一个决定型素性测试算法 ，由三个来自印度坎普尔理工学院（英语：Indian Institute of Technology Kanpur）的电脑科学家，曼宁德拉·阿格拉瓦尔（英语：Manindra Agrawal）、尼拉吉·卡亚尔（英语：Neeraj Kayal）和尼汀·沙克谢纳（英语：Nitin Saxena），在2002年8月6日发表于一篇题为素数属于P的论文。^[1]作者们因此获得了许多奖项，包含了2006年的哥德尔奖和2006年的富尔克森奖。这个算法可以在多项式时间之内，决定一个给定整数是素数或者合数。

重要性

AKS最关键的重要性在于它是第一个被发表的一般的、多项式的、确定性的和无仰赖的素数判定算法。先前的算法至多达到了其中三点，但从未达到全部四个。

• AKS算法可以被用于检测任何一般的给定数字是否为素数。很多已知的高速判定算法只适用于满足特定条件的素数。例如，卢卡斯-莱默检验法仅对梅森素数适用，而Pépin测试（英语：Pépin's test）仅对费马数适用。
• 算法的最长运行时间可以被表为一个目标数字长度的多项式。ECPP和APR能够判断一个给定数字是否为素数，但无法对所有输入给出多项式时间范围。
• 算法可以确定性地判断一个给定数字是否为素数。随机测试算法，例如米勒-拉宾检验和Baillie–PSW，可以在多项式时间内对给定数字进行校验，但只能给出概率性的结果。
• AKS算法并未“仰赖”任何未证明猜想。一个反例是确定性米勒检验：该算法可以在多项式时间内对所有输入给出确定性结果，但其正确性却基于尚未被证明的广义黎曼猜想。

概念

AKS素性测试主要是基于以下定理：整数n (≥ 2)是素数，当且仅当

${\displaystyle (x+a)^{n}\equiv (x^{n}+a){\pmod {n))}$

1

这个同余多项式对所有与n互素的整数a均成立。 这个定理是费马小定理的一般化，并且可以简单的使用二项式定理跟二项式系数的这个特征:

${\displaystyle {n \choose k}\equiv 0{\pmod {n))}$ ，对任何 ${\displaystyle 0<k<n}$ ，当且仅当 n 是素数

来证明出此定理。

虽然说关系式 (1) 基本上构成了整个素性测试，但是验证花费的时间却是指数时间。因此，为了减少计算复杂度，AKS改为使用以下的同余多项式：

${\displaystyle (x+a)^{n}\equiv (x^{n}+a){\pmod {x^{r}-1,n))}$

2

这个多项式与存在多项式f与g，令:

${\displaystyle (x+a)^{n}-(x^{n}+a)=(x^{r}-1)g+nf}$

3

意义是等同的。

这个同余式可以在多项式时间之内检查完毕。这里我们要注意所有的素数必定满足此条件式（令g = 0则 (3) 等于 (1)，因此符合n必定是素数）。 然而，有一些合数也会满足这个条件式。有关AKS正确性的证明包含了推导出存在一个够小的r以及一个够小的整数集合A，令如果此同余式对所有A里面的整数都满足，则n必定为素数。

历史以及运算时间

在上文引用的论文的第一版本中，作者们证明了算法的渐近时间为O${\displaystyle (\log ^{12}(n))}$。换言之，算法使用少于n的二进制数字长度的十二次方。但是，论文证明的时间上界却过于宽松；事实上，一个被普遍相信的关于索菲热尔曼素数分布的假设如果为真，则会立即将最坏情况减至O${\displaystyle (\log ^{6}(n))}$。

在这一发现后的几个月中，新的变体陆续出现（Lenstra 2002, Pomerance 2002, Berrizbeitia 2003, Cheng 2003, Bernstein 2003a/b, Lenstra和Pomerance 2003）并依次提高了算法的速度（以改进幅度为序）。由于这些变体的出现，Crandall和Papadopoulos在其科学论文“AKS-类素性测试的实现”（2003年三月发表）中将其称为算法的“AKS-类”。

出于对这些变体和其他回复的回应，论文“素数属于P”稍后被进行了更新，新版本包括了一个AKS算法的正规公式化表述和其正确性证明。（这一版本在数学年刊上发表。）虽然基本思想没有变化，${\displaystyle r}$却被采用了新方法进行选择，而正确性证明也变得更加紧致有序。与旧证明依赖于许多不同的方法不同，新版本几乎只依赖于有限域上的分圆多项式的特征。新版本同时也优化了时间复杂度的边界到O${\displaystyle (\log ^{10.5}(n))}$。通过筛法获得的其他结果可以将其进一步简化到O${\displaystyle (\log ^{7.5}(n))}$。

在2005年，Carl Pomerance和H. W. Lenstra, Jr.展示了一个AKS的变体，可以在${\displaystyle O(\log ^{6}(n))}$次操作内完成测试（${\displaystyle n}$是被测试数）。对于原算法的${\displaystyle O(\log ^{12}(n))}$边界而言，这是一个显著的改进。^[2]

算法

整个算法的操作如下：^[1]

输入：整数 n > 1

1. 若存在整数a > 0 且b > 1 ，令 n = a^b ；则输出合数
2. 找出最小的 r 令 ord_r(n) > log²(n).
3. 若 对某些a ≤ r，1 < gcd(a,n) < n，输出合数。(gcd是指最大公约数)。
4. 若 n ≤ r, 输出素数。
5. 对 a = 1 到 ${\displaystyle \scriptstyle \lfloor \scriptstyle {\sqrt {\varphi (r)))\log(n)\scriptstyle \rfloor }$的所有数，

   如果 (X+a)ⁿ≠ Xⁿ+a (mod X^r − 1,n), 输出合数。

6. 输出 素数。

这里的 ord_r(n)是n mod r的阶。 另外，这里的log 代表以二为底的对数，${\displaystyle \scriptstyle \varphi (r)}$则是r的欧拉函数。

下面说明若n是个素数，那么算法总是会返回素数：由于n是素数，步骤1和3永远不会返回合数。步骤5也不会返回合数，因为(2)对所有素数n为真。因此，算法一定会在步骤4或6返回素数。

对应地，如果n是合数，那么算法一定返回合数：如果算法返回素数，那么则一定是从步骤4或6返回。对于前者，因为n ≤ r， n必然有因子a ≤ r符合1 < gcd(a,n) < n，因此会返回合数。剩余的可能性就是步骤6，在文章^[1]中，这种情况被证明不会发生，因为在步骤5中检验的多个等式可以确保输出一定是合数。

例子：n = 31为素数

输入：整数n  =  31 > 1。

注释

延伸阅读

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. AKS Primality Test. MathWorld. 
• R. Crandall, Apple ACG, and J. Papadopoulos (March 18, 2003): On the implementation of AKS-class primality tests (PDF)
• Article by Borneman, containing photos and information about the three Indian scientists（页面存档备份，存于互联网档案馆） (PDF)
• Andrew Granville: It is easy to determine whether a given integer is prime（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Prime Facts: From Euclid to AKS（页面存档备份，存于互联网档案馆）, by Scott Aaronson (PDF)
• The PRIMES is in P little FAQ（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Anton Stiglic
• 2006 Gödel Prize Citation
• 2006 Fulkerson Prize Citation（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The AKS "PRIMES in P" Algorithm Resource（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Grime, Dr. James. Fool-Proof Test for Primes - Numberphile (video). 布雷迪·哈兰. [2018-05-10]. （原始内容存档于2018-03-23）.  [the video describes the exponential time relation (1), which it calls AKS]