整方根函数（英语：integer square root function），是指函数值为不大于自变量${\displaystyle a}$的算术平方根的最大整数，定义域为自然数，符号表示为${\displaystyle \lfloor {\sqrt {a))\rfloor }$。^[1]

整方根函数${\displaystyle \lfloor {\sqrt {a))\rfloor }$用原始递归函数可定义为：^[1]

${\displaystyle {\begin{cases}\lfloor {\sqrt {0))\rfloor =0\\\lfloor {\sqrt {Sa))\rfloor =\lfloor {\sqrt {a))\rfloor +N(Sa{\dot {-))(S\lfloor {\sqrt {a))\rfloor )^{2}\end{cases))}$

由牛顿法迭代公式${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n+1})))}$，欲计算${\displaystyle \lfloor {\sqrt {a))\rfloor }$，可令

${\displaystyle f(x)=x^{2}-a}$，由${\displaystyle x^{2}-a=0}$，得

${\displaystyle f(x)}$与${\displaystyle x}$轴相交于${\displaystyle x={\sqrt {a))}$，可计算平方根，于是

${\displaystyle f'(x)=2x}$，代入迭代公式可得

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{2}-a}{2x_{n))))$，整理得

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n)){2))+{\frac {a}{2x_{n))))$。

算法结束条件为${\displaystyle \Delta _{n}=\left\vert x_{n+1}-x_{n}\right\vert =0}$，即${\displaystyle x_{n+1}=x_{n))$。^[2]