未解决的数学问题：当${\displaystyle n}$ ≥ ${\displaystyle 5}$时，是否每个费马数都是合数？

费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式：

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n))+1}$

其中n为非负整数。

若2ⁿ + 1是素数，可以得到n必须是2的幂。（若n = ab，其中1 < a, b < n且b为奇数，则2ⁿ + 1 ≡ (2^a)^b + 1 ≡ (−1)^b + 1 ≡ 0(mod 2^a + 1)，即2^a + 1是2ⁿ + 1的约数。）也就是说，所有具有形式2ⁿ + 1的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有F₀至F₄五个。

基本性质

费马数满足以下的递归关系：

${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1\,}$

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1))F_{0}\cdots F_{n-2))$

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2))$

${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}$

其中n ≥ 2。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设 0 ≤ i < j 且 F_i 和 F_j 有一个公因子 a > 1。那么 a 能把

${\displaystyle F_{0}\cdots F_{j-1))$

和F_j都整除；则a能整除它们相减的差。因为a > 1，这使得a = 2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。

其他性质：

• F_n的位数D(n,b)可以表示成以b 为基数就是

${\displaystyle D(n,b)=\left\lfloor \log _{b}\left(2^{2^{\overset {n}{))}+1\right)+1\right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log _{b}2+1\rfloor }$ (参见高斯函数).

• 除了F₁ = 2 + 3以外没有费马数可以表示成两个素数的和。
• 当p是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的p次方相减的形式。
• 除了F₀和F₁，费马数的最后一位是7。
• 所有费马数（OEIS数列A051158）的倒数之和是无理数。 (Solomon W. Golomb, 1963)

费马数的因式分解

最小的12个费马数为：

其中前八个来源于（OEIS数列A000215）。

只有最小的12个费马数被人们完全分解了^[1]。

历史

1640年，费马提出了一个猜想，认为所有的费马数都是素数。这一猜想对最小的5个费马数成立，于是费马宣称他找到了表示素数的公式。然而，欧拉在1732年否定了这一猜想，他给出了F₅的分解式：

F₅ = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

欧拉证明费马数的约数皆可表成k2ⁿ⁺¹ + 1，之后卢卡斯证明费马数的约数皆可表成k2ⁿ⁺² + 1。

定理

• 高斯称：尺规作图正多边形的边数目的充分条件是2的非负整数次方乘以任意个（可为0个）不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题。这个条件也是必要条件，但他没有给出证明。

素性检验

方法一

设${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n))+1}$为第n个费马数。如果n不等于零，那么：

${\displaystyle F_{n))$是素数，当且仅当${\displaystyle 3^{\frac {F_{n}-1}{2))\equiv -1{\pmod {F_{n))))$。

证明

假设以下等式成立：

${\displaystyle 3^{\frac {F_{n}-1}{2))\equiv -1{\pmod {F_{n))))$

那么${\displaystyle 3^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n))))$，因此满足3^k=1（mod${\displaystyle F_{n))$）的最小整数k一定整除${\displaystyle F_{n}-1=2^{2^{n))}$，它是2的幂。另一方面，k不能整除${\displaystyle {\tfrac {F_{n}-1}{2))}$，因此它一定等于${\displaystyle F_{n}-1}$。特别地，存在至少${\displaystyle F_{n}-1}$个小于${\displaystyle F_{n))$且与${\displaystyle F_{n))$互素的数，这只能在${\displaystyle F_{n))$是素数时才能发生。

假设${\displaystyle F_{n))$是素数。根据欧拉准则，有：

${\displaystyle 3^{\frac {F_{n}-1}{2))\equiv \left({\frac {3}{F_{n))}\right){\pmod {F_{n))))$,

其中${\displaystyle \left({\frac {3}{F_{n))}\right)}$是勒让德符号。利用重复平方，我们可以发现${\displaystyle 2^{2^{n))\equiv 1{\pmod {3))}$，因此${\displaystyle F_{n}\equiv 2{\pmod {3))}$，以及${\displaystyle \left({\frac {F_{n)){3))\right)=-1}$。因为${\displaystyle F_{n}\equiv 1{\pmod {4))}$，根据二次互反律，我们便可以得出结论${\displaystyle \left({\frac {3}{F_{n))}\right)=-1}$。

方法二

根据费马平方和定理，可证明某些费马数为合数。(因为${\displaystyle 4n+1}$型的素数皆可表示为两正整数的平方和，且表示方法唯一) 例如： ${\displaystyle F_{5}=(2^{16})^{2}+1^{2}=20449^{2}+62264^{2))$ ${\displaystyle F_{6}=(2^{32})^{2}+1^{2}=1438793759^{2}+4046803256^{2))$

注释

1. ^ （英文） 费马数的分解 （页面存档备份，存于互联网档案馆）