电磁张量 (英语:electromagnetic tensor )或电磁场张量 (英语:electromagnetic field tensor )(有时也称作场强度张量 (field strength tensor)、法拉第张量 (Faraday tensor)或麦克斯韦双矢量 (Maxwell bivector))是一个描述一物理系统中电磁场 的数学客体,所根据的是麦克斯韦 的电磁学 理论。场张量是在赫尔曼·闵可夫斯基 提出狭义相对论 的四维张量 形式之后被首次使用。
數學註記:本文會使用到抽象的指標記號。
电磁张量
F
α
β
{\displaystyle F_{\alpha \beta ))
常表示成如下矩阵形式:
F
α
β
=
[
0
E
x
/
c
E
y
/
c
E
z
/
c
−
E
x
/
c
0
−
B
z
B
y
−
E
y
/
c
B
z
0
−
B
x
−
E
z
/
c
−
B
y
B
x
0
]
{\displaystyle F_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix))}
其中
E 是电场 ,
B 是磁场 ,
c 是光速 。 从场张量的矩阵形式可以见到,其会满足下列特性:
反对称性 :
F
α
β
=
−
F
β
α
{\displaystyle F^{\alpha \beta }\,=-F^{\beta \alpha ))
(因此称作双矢量(或称双矢、二重矢量,bivector))。
零值的迹数 或称对角和 。
6个 独立分量——
E
x
/
c
{\displaystyle E_{x}/c}
、
E
y
/
c
{\displaystyle E_{y}/c}
、
E
z
/
c
{\displaystyle E_{z}/c}
、
B
x
{\displaystyle B_{x))
、
B
y
{\displaystyle B_{y))
、
B
z
{\displaystyle B_{z))
。若将场张量做内积 ,则可得到一洛伦兹不变量 :
F
α
β
F
α
β
=
2
(
B
2
−
E
2
c
2
)
=
i
n
v
a
r
i
a
n
t
{\displaystyle F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2)){c^{2))}\right)=\mathrm {invariant} }
场张量
F
α
β
{\displaystyle F^{\alpha \beta }\,}
与对偶张量的乘积则为一伪标量不变量(pseudoscalar invariant):
1
2
ϵ
α
β
γ
δ
F
α
β
F
γ
δ
=
−
4
c
(
B
→
⋅
E
→
)
=
i
n
v
a
r
i
a
n
t
{\displaystyle {\frac {1}{2))\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c))\left({\vec {B))\cdot {\vec {E))\right)=\mathrm {invariant} \,}
其中
ϵ
α
β
γ
δ
{\displaystyle \ \epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\,}
为四阶完全反对称单位张量(completely antisymmetric unit tensor)或称列维-奇维塔符号 (Levi-Civita symbol)。注意到场张量的行列式
det
(
F
)
=
1
c
2
(
B
→
⋅
E
→
)
2
{\displaystyle \det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2))}\left({\vec {B))\cdot {\vec {E))\right)^{2))
更正式地,可将电磁张量以4-矢势
A
α
{\displaystyle A^{\alpha }\,}
写成:
F
α
β
=
d
e
f
∂
A
β
∂
x
α
−
∂
A
α
∂
x
β
=
d
e
f
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
{\displaystyle F_{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=))\ {\frac {\partial A_{\beta )){\partial x^{\alpha ))}-{\frac {\partial A_{\alpha )){\partial x^{\beta ))}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=))\ \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha ))
其中4-矢势为:
A
α
=
(
ϕ
c
,
A
→
)
{\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c)),{\vec {A))\right)}
,其协变 (covariant)形式可以透过乘上闵可夫斯基度规
η
{\displaystyle \eta \,}
来得到:
A
α
=
η
α
β
A
β
=
(
ϕ
c
,
−
A
→
)
{\displaystyle A_{\alpha }\,=\eta _{\alpha \beta }A^{\beta }=\left({\frac {\phi }{c)),-{\vec {A))\right)}
此处闵可夫斯基度规
η
{\displaystyle \eta \,}
的定义为:
η
=
[
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
]
{\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix))}
若按照另种使用习惯将闵可夫斯基度规定义为:
η
=
[
−
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
]
{\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix))}
则4-矢势的协变形式会是:
A
α
=
η
α
β
A
β
=
(
−
ϕ
c
,
A
→
)
{\displaystyle A_{\alpha }\,=\eta _{\alpha \beta }A^{\beta }=\left(-{\frac {\phi }{c)),{\vec {A))\right)}
为了要导出电磁张量的所有矩阵元素,我们需要定义(时空 )导数算符(derivative operator):
∂
α
=
(
1
c
∂
∂
t
,
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
=
(
1
c
∂
∂
t
,
∇
→
)
{\displaystyle \partial _{\alpha }=\left({\frac {1}{c)){\frac {\partial }{\partial t)),{\frac {\partial }{\partial x)),{\frac {\partial }{\partial y)),{\frac {\partial }{\partial z))\right)=\left({\frac {1}{c)){\frac {\partial }{\partial t)),{\vec {\nabla ))\right)\,}
以及4-矢势:
A
α
=
(
ϕ
c
,
−
A
x
,
−
A
y
,
−
A
z
)
{\displaystyle A_{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c)),-A_{x},-A_{y},-A_{z}\right)\,}
其中
A
→
{\displaystyle {\vec {A))\,}
为矢势 ,而
(
A
x
,
A
y
,
A
z
)
{\displaystyle \left(A_{x},A_{y},A_{z}\right)}
为其分量,
ϕ
{\displaystyle \phi \,}
为标势 ,
c
{\displaystyle c\,}
为光速 ;
指标α取值0、1、2、3。 电场与磁场可以透过下面两个与矢势及标势的关系式导出:
E
→
=
−
∂
A
→
∂
t
−
∇
→
ϕ
{\displaystyle {\vec {E))=-{\frac {\partial {\vec {A))}{\partial t))-{\vec {\nabla ))\phi \,}
B
→
=
∇
→
×
A
→
{\displaystyle {\vec {B))={\vec {\nabla ))\times {\vec {A))\,}
以x 分量为例:
E
x
=
−
∂
A
x
∂
t
−
∂
ϕ
∂
x
=
c
(
1
c
∂
∂
t
(
−
A
x
)
−
∂
∂
x
(
ϕ
c
)
)
{\displaystyle E_{x}=-{\frac {\partial A_{x)){\partial t))-{\frac {\partial \phi }{\partial x))=c({1 \over c}{\frac {\partial }{\partial t))(-A_{x})-{\frac {\partial }{\partial x))({\phi \over c}))\,}
B
x
=
∂
A
z
∂
y
−
∂
A
y
∂
z
{\displaystyle B_{x}={\frac {\partial A_{z)){\partial y))-{\frac {\partial A_{y)){\partial z))\,}
利用这样的定义,我们可以将上面两个式子改写成:
E
x
=
c
(
∂
0
A
1
−
∂
1
A
0
)
{\displaystyle E_{x}=c\left(\partial _{0}A_{1}-\partial _{1}A_{0}\right)\,}
,或将c 移动到等号左边:
E
x
c
=
∂
0
A
1
−
∂
1
A
0
{\displaystyle {\frac {E_{x)){c))=\partial _{0}A_{1}-\partial _{1}A_{0}\,}
B
x
=
∂
2
A
3
−
∂
3
A
2
{\displaystyle B_{x}=\partial _{2}A_{3}-\partial _{3}A_{2}\,}
在评估过所有分量后,可以得到一个二阶 、反对称、协变 张量
F
α
β
{\displaystyle F_{\alpha \beta ))
:
F
α
β
=
∂
α
A
β
−
∂
β
A
α
{\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,}
经典电磁学以及麦克斯韦方程组 可以从如下定义的作用量推导得出:
S
=
∫
(
−
1
4
μ
0
F
μ
ν
F
μ
ν
)
d
4
x
{\displaystyle {\mathcal {S))=\int \left(-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0))}\end{matrix))F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)\mathrm {d} ^{4}x\,}
其中
d
4
x
{\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x\;}
是对时间及空间的积分。这表示拉格朗日量 是为
L
{\displaystyle {\mathcal {L))\,}
=
−
1
4
μ
0
F
μ
ν
F
μ
ν
{\displaystyle =-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0))}\end{matrix))F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\,}
=
−
1
4
μ
0
(
∂
μ
A
ν
−
∂
ν
A
μ
)
(
∂
μ
A
ν
−
∂
ν
A
μ
)
{\displaystyle =-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0))}\end{matrix))\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\,}
=
−
1
4
μ
0
(
∂
μ
A
ν
∂
μ
A
ν
−
∂
ν
A
μ
∂
μ
A
ν
−
∂
μ
A
ν
∂
ν
A
μ
+
∂
ν
A
μ
∂
ν
A
μ
)
{\displaystyle =-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0))}\end{matrix))\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\,}
最后一段等号右边四个项,最左项与最右项相等,因为
μ
{\displaystyle \mu }
与
ν
{\displaystyle \nu }
仅为傀指标;中间两项也彼此相等。因此拉格朗日量变为
L
{\displaystyle {\mathcal {L))\,}
=
−
1
2
μ
0
(
∂
μ
A
ν
∂
μ
A
ν
−
∂
ν
A
μ
∂
μ
A
ν
)
{\displaystyle =-{\begin{matrix}{\frac {1}{2\mu _{0))}\end{matrix))\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)\,}
我们将之代入场的欧拉-拉格朗日方程 :
∂
ν
(
∂
L
∂
(
∂
ν
A
μ
)
)
−
∂
L
∂
A
μ
=
0
{\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })))\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial A_{\mu ))}=0\,}
。第二项为零,因为此情况下的拉格朗日量只含有导数项。因此欧拉-拉格朗日方程变为:
∂
ν
(
∂
μ
A
ν
−
∂
ν
A
μ
)
=
0
{\displaystyle \partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)=0\,}
。圆括号内的项正是场张量,因此最终可以简化为
∂
ν
F
μ
ν
=
0
{\displaystyle \partial _{\nu }F^{\mu \nu }=0\,}
。
此方程仅是写下两个齐次麦克斯韦方程的另一条途径,只要做以下代入:
E
i
/
c
=
−
F
0
i
{\displaystyle ~E^{i}/c\ \ =-F^{0i}\,}
ϵ
i
j
k
B
k
=
−
F
i
j
{\displaystyle \epsilon ^{ijk}B^{k}=-F^{ij}\,}
其中指标
i
{\displaystyle i\,}
与
j
{\displaystyle j\,}
取值1、2、3。
潜藏在看似复杂的张量数学方程外表下的,是对电磁学麦克斯韦方程组 所做的巧妙统合。考虑静电方程(electrostatic equation)
∇
→
⋅
E
→
=
ρ
ϵ
0
{\displaystyle {\vec {\nabla ))\cdot {\vec {E))={\frac {\rho }{\epsilon _{0))))
告诉了我们电场矢量的散度等于电荷密度 除以电容率
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0))
,而动电方程(electrodynamic equation)
∇
→
×
B
→
−
1
c
2
∂
E
→
∂
t
=
μ
0
J
→
{\displaystyle {\vec {\nabla ))\times {\vec {B))-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial {\vec {E))}{\partial t))=\mu _{0}{\vec {J))}
也就是磁场矢量的旋度 减掉电场随着时间变动(取时间微分),等于电流密度乘以磁导率
μ
0
{\displaystyle \mu _{0))
。
这两个关于电学的方程可以约化成
∂
α
F
α
β
=
μ
0
J
β
{\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }\,}
其中
J
α
=
(
c
ρ
,
J
→
)
{\displaystyle J^{\alpha }=(c\,\rho ,{\vec {J)))\,}
为四维电流密度 。同样的情况也适用在磁学上。若我们考虑静磁方程(magnetostatic equation)
∇
→
⋅
B
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla ))\cdot {\vec {B))=0}
告诉了我们没有“真实”存在的磁荷(磁单极 ),而动磁方程(magnetodynamics equation)
∂
B
→
∂
t
+
∇
→
×
E
→
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B))}{\partial t))+{\vec {\nabla ))\times {\vec {E))=0}
告诉了我们磁场随着时间变动(取时间微分)加上电场的旋度 等于零(或是另种讲法:电场的旋度等于负的磁场随着时间变)。若用电磁张量,磁学的方程可以约化成
F
α
β
,
γ
+
F
β
γ
,
α
+
F
γ
α
,
β
=
0
{\displaystyle F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }=0\,}
,或者利用反对称化符号——方括号[]表示成
F
[
α
β
,
γ
]
=
0
{\displaystyle F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}=0\,}
。场张量其得名理由是因为电磁场须遵守张量转换定律;(非重力场 )物理定律具有这样的普适性质,在狭义相对论 诞生之后就被普遍认识到。相对论要求所有(非重力场的)物理定律在所有坐标系统中都应具有相同形式,这导致张量 的引入。张量形式也使得物理定律能有优美的数学表示方式。举例来说,电磁学的麦克斯韦方程组 可以用场张量写成:
F
[
α
β
,
γ
]
=
0
{\displaystyle F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}\,=0}
F
α
β
,
β
=
μ
0
J
α
{\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{,\beta }\,=\mu _{0}J^{\alpha ))
其中逗号, 表示对其做偏微分 。第二个方程暗示了电荷与电流元的守恒 :
J
α
,
α
=
0
{\displaystyle J^{\alpha }{}_{,\alpha }\,=0}
在广义相对论 的弯曲时空 中,这些定律可用(许多物理学家觉得)吸引人的方式来推广——就是将偏微分改成协变微分 :
F
[
α
β
;
γ
]
=
0
{\displaystyle F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}\,=0}
F
α
β
;
β
=
μ
0
J
α
{\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=\mu _{0}J^{\alpha ))
其中分号; 代表了协变微分 ,跟上面在平直时空 所用的偏微分相互辉映。方程的优美不受改变,仅仅需要将偏微分换成协变微分,这在广义相对论常见的说法。这样的方程常被称作是“弯曲时空下的马克斯韦方程组”。一样地,第二个方程暗示著电荷与电流元的守恒(于弯曲时空中):
J
α
;
α
=
0
{\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }\,=0}
在量子电动力学 中的拉格朗日量 是从相对论建立的经典拉格朗日量所延伸:
L
=
ψ
¯
(
i
ℏ
c
γ
α
D
α
−
m
c
2
)
ψ
−
1
4
μ
0
F
α
β
F
α
β
,
{\displaystyle {\mathcal {L))={\bar {\psi ))(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2})\psi -{\frac {1}{4\mu _{0))}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}
以将光子 以及电子 的创生(creation)与湮灭 (annihilation)整合进来。
在量子场论 中,电磁场强度张量被当作是规范场 强度张量的范本。此一项搭配上局域相互作用拉格朗日量(local interaction Lagrangian),其作用角色与在量子电动力学中几乎一样。
Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 978-0-19-514665-3 .
Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. An Introduction to Quantum Field Theory. Perseus Publishing. 1995. ISBN 978-0-201-50397-5 . 张量理论中的字汇
范畴
符号 张量定义 运算 相关抽象名词 知名张量
数学家