奥古斯丁·菲涅耳 古斯塔夫·基尔霍夫 在光学 里,菲涅耳-基尔霍夫衍射公式 (Fresnel-Kirchoff's diffraction formula )可以应用于光波 传播的理论分析模型或数值分析 模型。[1] [2] 从菲涅耳-基尔霍夫衍射公式,可以推导出惠更斯-菲涅耳原理 ,并且解释一些惠更斯-菲涅耳原理无法解释的物理现象与结果。菲涅耳-基尔霍夫衍射公式常被称为“基尔霍夫衍射公式”(Kirchoff's diffraction formula )。
从基尔霍夫积分定理 ,在假定一些近似之后,可以推导出菲涅耳-基尔霍夫衍射公式。
惠更斯原理 是克里斯蒂安·惠更斯 于1678年提出的关于波传播的理论。惠更斯原理表明,假设在时间
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0))
由主波源Q0 发射出的球面波,在时间
t
=
t
1
{\displaystyle t=t_{1))
传播到波前
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
,那么位于波前
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
的每一个面元素矢量
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }
都可以被视为一个次波源,所有从这些次波源发射出的次波,在之后时间
t
=
t
2
{\displaystyle t=t_{2))
波前的包络面 就是主波源Q0 所发射出的球面波在时间
t
=
t
2
{\displaystyle t=t_{2))
的波前。
从主波源Q0 发射出的球面波,其波前
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
的每一点Q都可以视为次波源,它们会发射出次波,在空间任意一点P的波扰是所有这些次波在该点P的相干叠加。 波动有两个基本属性:
惠更斯原理只阐述了前一条属性,奥古斯丁·菲涅耳 将惠更斯提出的次波的概念加以延伸,提出用“次波相干叠加”的点子来解释衍射现象,这就是惠更斯-菲涅耳原理 。这原理表明,波前
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
的每个面元素矢量
d
S
′
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} '}
都可以视为次波源,它们会发射出次波,在空间任意一点P的波扰是所有这些次波在该点P的相干叠加。设定位于波前
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
的任意一点Q,它在点P贡献的复振幅 为
d
ψ
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle \mathrm {d} \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
;其中,
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
、
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
分别为点P、点Q的位置。在点P的总波扰为
ψ
(
r
)
=
∮
S
d
ψ
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\oint _{\mathbb {S} }\,\mathrm {d} \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
。为了将这公式具体化,菲涅耳凭借直觉对
d
ψ
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle \mathrm {d} \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
作出了如下假设:
d
ψ
(
r
,
r
′
)
∝
d
S
′
{\displaystyle \mathrm {d} \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\propto \mathrm {d} S'}
。
d
ψ
(
r
,
r
′
)
∝
ψ
(
r
′
)
{\displaystyle \mathrm {d} \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\propto \psi (\mathbf {r} ')}
。次波源发射出的次波应是球面波,其中
k
{\displaystyle k}
是波数 :
d
ψ
(
r
,
r
′
)
∝
e
i
k
R
R
{\displaystyle \mathrm {d} \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\propto {\frac {e^{ikR)){R))}
;其中,
R
=
r
−
r
′
{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} '}
是从点Q到点P的位移矢量。次波源发射出的次波是各向异性 的。假设
n
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} ))}
是与面元素矢量
d
S
′
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} '}
同方向的单位矢量,
χ
{\displaystyle \chi }
是
n
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} ))}
与
R
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {R} ))}
之间的夹角,则倾斜因子
K
(
χ
)
{\displaystyle K(\chi )}
与
d
ψ
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle \mathrm {d} \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
的关系为
d
ψ
(
r
,
r
′
)
∝
K
(
χ
)
{\displaystyle \mathrm {d} \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\propto K(\chi )}
。根据以上假设可以得到如下菲涅耳衍射积分公式
ψ
(
r
)
=
c
∮
S
ψ
(
r
′
)
K
(
χ
)
e
i
k
R
R
d
S
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=c\oint _{\mathbb {S} }\,\psi (\mathbf {r} ')K(\chi ){\frac {e^{ikR)){R))\,\mathrm {d} S'}
;其中,
c
{\displaystyle c}
是比例常数。
在菲涅耳衍射积分公式提出六十余年后,古斯塔夫·基尔霍夫 用严格的数学理论推导出菲涅耳-基尔霍夫衍射公式:[3]
ψ
(
r
)
=
−
i
ψ
0
2
λ
∮
S
(
e
i
k
(
r
′
+
R
)
r
′
R
)
[
cos
α
+
cos
χ
]
d
S
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=-\ {\frac {i\psi _{0)){2\lambda ))\oint _{\mathbb {S} }\left({\frac {e^{ik(r'+R))){r'R))\right)[\cos \alpha +\cos \chi ]\,\mathrm {d} S'}
;其中,
α
{\displaystyle \alpha }
、
χ
{\displaystyle \chi }
分别是
r
′
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} '))}
、
R
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {R} ))}
与
n
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} ))}
之间的夹角。
推论从点光源Q0 发射的单色光波,其波扰的数值大小与传播距离成反比,在位置
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
以方程表达为
ψ
(
r
′
)
=
ψ
0
e
i
k
r
′
/
r
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ')=\psi _{0}e^{ikr'}/r'}
。又在其发射出的球面波的波前任意位置,
r
′
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} '))}
与
n
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} ))}
同向,夹角
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
。设定比例常数
c
=
−
i
/
λ
{\displaystyle c=-i/\lambda }
,
K
(
χ
)
=
(
1
+
cos
χ
)
/
2
{\displaystyle K(\chi )=(1+\cos \chi )/2}
,则可得到菲涅耳衍射积分公式。
点P在闭合曲面
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
之外。位于点P的波扰
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
,可以以位于闭合曲面
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
的所有波扰与其梯度 表达。 基尔霍夫积分定理 应用格林第二恒等式 来推导出齐次波动方程 的解答,这解答是以波动方程在任意闭合曲面
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
的每一个点的解答和其一阶导数 来表达。[4]
对于单频率波,解答为
ψ
(
r
)
=
1
4
π
∮
S
[
ψ
(
r
′
)
∇
′
(
e
i
k
R
R
)
−
(
e
i
k
R
R
)
∇
′
ψ
(
r
′
)
]
⋅
d
S
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi ))\oint _{\mathbb {S} }\left[\psi (\mathbf {r} ')\nabla '\left({\frac {e^{ikR)){R))\right)-\left({\frac {e^{ikR)){R))\right)\nabla '\psi (\mathbf {r} ')\right]\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} '}
,或者
ψ
(
r
)
=
1
4
π
∮
S
[
ψ
(
r
′
)
∂
∂
n
′
(
e
i
k
R
R
)
−
(
e
i
k
R
R
)
∂
ψ
(
r
′
)
∂
n
′
]
d
S
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi ))\oint _{\mathbb {S} }\left[\psi (\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial n'))\left({\frac {e^{ikR)){R))\right)-\left({\frac {e^{ikR)){R))\right){\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ')}{\partial n'))\right]\,\mathrm {d} S'}
;其中,
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
、
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
分别是从点Q0 到点P、点Q的位移矢量,
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
是在点P的波扰,
R
=
r
−
r
′
{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} '}
是从点Q到点P的位移矢量,
R
{\displaystyle R}
是其数值大小,
k
{\displaystyle k}
是波数 ,
∇
′
{\displaystyle \nabla '}
是对于源位置
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
的梯度 ,
d
S
′
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} '}
是从闭合曲面
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
向外指出的微小面元素矢量,
∂
∂
n
′
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n'))}
是闭合曲面
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
的法向导数 。
在推导基尔霍夫衍射公式的过程中,基尔霍夫做了以下假定:
点波源与孔隙之间的距离
r
′
{\displaystyle r'}
超大于波长
λ
=
2
π
/
k
{\displaystyle \lambda =2\pi /k}
。
R
{\displaystyle R}
超大于波长
λ
{\displaystyle \lambda }
。从点波源Q0 发射的单频率波,其能量与传播距离平方成反比,波扰的数值大小与传播距离成反比,在点Q的波扰以方程表达为
ψ
(
r
′
)
=
ψ
0
e
i
k
r
′
r
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ')=\psi _{0}{\frac {e^{ikr')){r'))}
;其中,
ψ
0
{\displaystyle \psi _{0))
是复值波幅。
假设点P在闭合曲面
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
之外,应用基尔霍夫积分定理 的方程,可以得到在点P的波扰:
ψ
(
r
)
=
ψ
0
4
π
∮
S
[
(
e
i
k
r
′
r
′
)
∇
′
(
e
i
k
R
R
)
−
(
e
i
k
R
R
)
∇
′
(
e
i
k
r
′
r
′
)
]
⋅
n
^
d
S
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {\psi _{0)){4\pi ))\oint _{\mathbb {S} }\left[\left({\frac {e^{ikr')){r'))\right)\nabla '\left({\frac {e^{ikR)){R))\right)-\left({\frac {e^{ikR)){R))\right)\nabla '\left({\frac {e^{ikr')){r'))\right)\right]\cdot \,{\hat {\mathbf {n} ))\mathrm {d} S'}
;其中,
n
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} ))}
是与
d
S
′
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} '}
同方向的单位矢量。
注意到球面出射波的梯度 为
∇
′
(
e
i
k
R
R
)
=
−
(
e
i
k
R
R
)
(
i
k
−
1
R
)
R
^
{\displaystyle \nabla '\left({\frac {e^{ikR)){R))\right)=-\left({\frac {e^{ikR)){R))\right)\left(ik-\ {\frac {1}{R))\right){\hat {\mathbf {R} ))}
、
∇
′
(
e
i
k
r
′
r
′
)
=
(
e
i
k
r
′
r
′
)
(
i
k
−
1
r
′
)
r
′
^
{\displaystyle \nabla '\left({\frac {e^{ikr')){r'))\right)=\left({\frac {e^{ikr')){r'))\right)\left(ik-\ {\frac {1}{r'))\right){\hat {\mathbf {r} '))}
。从基尔霍夫所做的假定,
k
≫
1
/
R
{\displaystyle k\gg 1/R}
、
k
≫
1
/
r
′
{\displaystyle k\gg 1/r'}
(例如,假设距离大约为1mm,则对于波长在0.4μm至0.7μm之间的可见光 ,可以做这假定;但对于波长在1mm至1m之间的微波 ,这假定不适用),则上述两个公式近似为
∇
′
(
e
i
k
R
R
)
=
−
i
k
(
e
i
k
R
R
)
R
^
{\displaystyle \nabla '\left({\frac {e^{ikR)){R))\right)=-ik\left({\frac {e^{ikR)){R))\right){\hat {\mathbf {R} ))}
、
∇
′
(
e
i
k
r
′
r
′
)
=
i
k
(
e
i
k
r
′
r
′
)
r
′
^
{\displaystyle \nabla '\left({\frac {e^{ikr')){r'))\right)=ik\left({\frac {e^{ikr')){r'))\right){\hat {\mathbf {r} '))}
。所以,在点P的波扰
ψ
(
r
)
=
−
i
ψ
0
2
λ
∮
S
(
e
i
k
(
r
′
+
R
)
r
′
R
)
(
r
′
^
⋅
n
^
+
R
^
⋅
n
^
)
d
S
′
=
−
i
ψ
0
2
λ
∮
S
(
e
i
k
(
r
′
+
R
)
r
′
R
)
(
cos
α
+
cos
χ
)
d
S
′
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} )&=-\ {\frac {i\psi _{0)){2\lambda ))\oint _{\mathbb {S} }\left({\frac {e^{ik(r'+R))){r'R))\right)({\hat {\mathbf {r} '))\cdot {\hat {\mathbf {n} ))+{\hat {\mathbf {R} ))\cdot {\hat {\mathbf {n} )))\,\mathrm {d} S'\\&=-\ {\frac {i\psi _{0)){2\lambda ))\oint _{\mathbb {S} }\left({\frac {e^{ik(r'+R))){r'R))\right)(\cos \alpha +\cos \chi )\,\mathrm {d} S'\\\end{aligned))}
; 其中,
α
{\displaystyle \alpha }
、
χ
{\displaystyle \chi }
分别是
r
′
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} '))}
、
R
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {R} ))}
与
n
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} ))}
之间的夹角。
这就是菲涅耳-基尔霍夫衍射公式,或基尔霍夫衍射公式。[3]
倾斜因子
K
(
χ
)
{\displaystyle K(\chi )}
为
[
1
+
cos
(
χ
)
]
/
2
{\displaystyle [1+\cos(\chi )]/2}
。 如右图所示,假设闭合曲面
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
是圆球面,点波源Q0 与圆球面
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
的圆心同点。在圆球面
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
的任意位置,
r
′
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} '))}
与
n
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} ))}
同向,所以,
cos
α
=
1
{\displaystyle \cos \alpha =1}
。注意到
r
′
{\displaystyle r'}
是圆球面
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
的半径,对于这积分,
r
′
{\displaystyle r'}
值不变,可以从积分里提出。在点P的波扰为
ψ
(
r
)
=
−
i
ψ
(
r
′
)
λ
∮
S
(
e
i
k
R
R
)
K
(
χ
)
d
S
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=-\ {\frac {i\psi (\mathbf {r} ')}{\lambda ))\oint _{\mathbb {S} }\left({\frac {e^{ikR)){R))\right)K(\chi )\,\mathrm {d} S'}
;其中,
K
(
χ
)
=
1
+
cos
χ
2
{\displaystyle K(\chi )={\frac {1+\cos \chi }{2))}
为倾斜因子。
应用惠更斯-菲涅耳原理 ,所得到在点P的波扰的方程,就是这方程。但是,惠更斯-菲涅耳原理无法解释相位差与倾斜因子的物理原因。倾斜因子使得次波的波幅会因为传播方向而不同;朝着主波方向,波幅较大;逆着主波方向,波幅较小。这解释了为什么波动只会朝着前方传播的物理现象。[3]
仔细诠释惠更斯-菲涅耳原理的方程:从点波源Q0 发射的波幅为
ψ
0
{\displaystyle \psi _{0))
的球面波,在点Q的波扰为
ψ
(
r
′
)
=
ψ
0
e
i
k
r
′
/
r
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ')=\psi _{0}e^{ikr'}/r'}
;而从点Q发射的次波,将倾斜因子与相位差纳入考量,所贡献出的波扰,在点P为
−
i
ψ
(
r
′
)
λ
(
e
i
k
R
R
)
K
(
χ
)
{\displaystyle -\ {\frac {i\psi (\mathbf {r} ')}{\lambda ))\left({\frac {e^{ikR)){R))\right)K(\chi )}
。总合所有与点Q同波前 的点次波源在点P所贡献出的波扰,就可以得到
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
。
换另一种直接方法来诠释,从点波源Q0 发射的球面波,在点P的波扰为
ψ
(
r
)
=
ψ
0
e
i
k
r
r
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{0}{\frac {e^{ikr)){r))}
。假若这两种诠释都正确,则从这两种
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
的表达式分别计算出的结果,应该可以被核对为相等:
ψ
0
e
i
k
r
r
=
−
i
λ
∮
S
1
(
ψ
0
e
i
k
r
′
r
′
)
(
e
i
k
R
R
)
K
(
χ
)
d
S
′
{\displaystyle \psi _{0}{\frac {e^{ikr)){r))=-\ {\frac {i}{\lambda ))\oint _{\mathbb {S} _{1))\left({\frac {\psi _{0}e^{ikr')){r'))\right)\left({\frac {e^{ikR)){R))\right)K(\chi )\,\mathrm {d} S'}
。为了简易计算,假设
r
≫
r
′
{\displaystyle r\gg r'}
,则以下近似成立:
R
≈
r
−
r
′
cos
(
θ
)
{\displaystyle R\approx r-r'\cos(\theta )}
、
R
2
≈
r
2
−
2
r
r
′
cos
(
θ
)
{\displaystyle R^{2}\approx r^{2}-2rr'\cos(\theta )}
、
K
(
χ
)
=
1
+
cos
(
χ
)
2
≈
1
+
cos
(
θ
)
2
{\displaystyle K(\chi )={\frac {1+\cos(\chi )}{2))\approx {\frac {1+\cos(\theta )}{2))}
;其中,
θ
{\displaystyle \theta }
为
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
与
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
之间的夹角。
所以,在点P的波扰可以近似为
ψ
(
r
)
≈
−
i
ψ
0
2
λ
e
i
k
(
r
′
+
r
)
r
′
r
∫
0
π
e
−
i
k
r
′
cos
(
θ
)
[
1
+
cos
(
θ
)
]
2
π
r
′
2
sin
(
θ
)
d
θ
≈
−
i
k
ψ
0
r
′
e
i
k
(
r
′
+
r
)
2
r
∫
0
π
e
−
i
k
r
′
cos
(
θ
)
[
1
+
cos
(
θ
)
]
sin
(
θ
)
d
θ
≈
−
i
k
ψ
0
r
′
e
i
k
(
r
′
+
r
)
2
r
2
[
sin
(
k
r
′
)
+
i
cos
(
k
r
′
)
]
k
r
′
≈
ψ
0
e
i
k
r
r
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} )&\approx -\ {\frac {i\psi _{0)){2\lambda )){\frac {e^{ik(r'+r))){r'r))\int _{0}^{\pi }e^{-ikr'\cos(\theta )}[1+\cos(\theta )]2\pi r'^{2}\sin(\theta )\mathrm {d} \theta \\&\approx -\ {\frac {ik\psi _{0}r'e^{ik(r'+r))){2r))\int _{0}^{\pi }e^{-ikr'\cos(\theta )}[1+\cos(\theta )]\sin(\theta )\mathrm {d} \theta \\&\approx -\ {\frac {ik\psi _{0}r'e^{ik(r'+r))){2r))\ {\frac {2[\sin(kr')+i\cos(kr')]}{kr'))\\&\approx \psi _{0}{\frac {e^{ikr)){r))\\\end{aligned))}
。 假设波源为有限尺寸,位于曲面
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
的波扰表达为
ψ
(
r
′
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ')}
,则位于点P的波扰为
ψ
(
r
)
=
1
4
π
∮
S
[
ψ
(
r
′
)
∂
∂
n
′
(
e
i
k
R
R
)
−
(
e
i
k
R
R
)
∂
ψ
(
r
′
)
∂
n
′
]
d
S
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi ))\oint _{\mathbb {S} }\left[\psi (\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial n'))\left({\frac {e^{ikR)){R))\right)-\left({\frac {e^{ikR)){R))\right){\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ')}{\partial n'))\right]\,\mathrm {d} S'}
。假定
k
≫
1
/
R
{\displaystyle k\gg 1/R}
,则
ψ
(
r
)
=
−
1
4
π
∮
S
(
e
i
k
R
R
)
[
i
k
ψ
(
r
′
)
cos
(
R
^
,
n
^
)
+
∂
ψ
(
r
′
)
∂
n
′
]
d
S
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=-\ {\frac {1}{4\pi ))\oint _{\mathbb {S} }\left({\frac {e^{ikR)){R))\right)\left[ik\psi (\mathbf {r} ')\cos {({\hat {\mathbf {R} )),{\hat {\mathbf {n} ))})+{\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ')}{\partial n'))\right]\,\mathrm {d} S'}
。这是基尔霍夫衍射公式最广义的形式。解析涉及到有限尺寸波源的问题,必须用体积分来将波源的每一点所给出的贡献总合在一起。
光波是传播于空间的电磁辐射 ,理当被视为一种电磁场矢量现象。但是,基尔霍夫的理论是标量理论,将光波当作标量处理,这可能会造成偏差。因此,物理学者做了很多实验来检查结果是否准确。他们发现,只要孔径尺寸比波长大很多、孔径与观察屏之间的距离不很近,则使用标量理论可以得到相当准确的答案。但是对于某些问题,例如高分辨率光栅衍射,标量理论就不适用,必须使用矢量理论。[5]
^ M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 1999, Cambridge University Press, Cambridge
^ RS Longhurst, Gemoetrical and Physical Optics, 1969, Longmans, London
^ 3.0 3.1 3.2 Hecht, Eugene. Optics 4th. United States of America: Addison Wesley. 2002: pp. 510–512. ISBN 0-8053-8566-5 (英语) .
^ G. Kirchhoff, Ann. d. Physik. 1883, 2, 18, p663
^ Goodman, Joseph. Introduction to Fourier Optics 3rd. Roberts and Company Publishers. 2004: pp. 35. ISBN 978-0974707723 .