建立曲线族的包络线。 包络线 (Envelope)是几何学 里的概念,代表一条曲线 与某个曲线族中的每条线都有至少一点相切 。(曲线族即一些曲线的无穷集 ,它们有一些特定的关系。)
设一个曲线族的每条曲线
C
s
{\displaystyle C_{s))
可表示为
t
↦
(
x
(
s
,
t
)
,
y
(
s
,
t
)
)
{\displaystyle t\mapsto (x(s,t),y(s,t))}
,其中
s
{\displaystyle s}
是曲线族的参数 ,
t
{\displaystyle t}
是特定曲线的参数。若包络线存在,它是由
s
↦
(
x
(
s
,
h
(
s
)
)
,
y
(
s
,
h
(
s
)
)
)
{\displaystyle s\mapsto (x(s,h(s)),y(s,h(s)))}
得出,其中
h
(
s
)
{\displaystyle h(s)}
以以下的方程求得:
∂
y
∂
h
∂
x
∂
s
=
∂
y
∂
s
∂
x
∂
h
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial h)){\frac {\partial x}{\partial s))={\frac {\partial y}{\partial s)){\frac {\partial x}{\partial h))}
若曲线族以隐函数 形式
F
(
x
,
y
,
s
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,s)=0}
表示,其包络线的隐方程,便是求下面两个方程的解x和y之隐函数关系。
{
F
(
x
,
y
,
s
)
=
0
∂
F
(
x
,
y
,
s
)
∂
s
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}F(x,y,s)=0\\{\frac {\partial F(x,y,s)}{\partial s))=0\end{cases))}
绣曲线 是包络线的例子。直线族
(
A
−
s
)
x
+
s
y
=
(
A
−
s
)
(
s
)
{\displaystyle (A-s)x+sy=(A-s)(s)}
(其中
A
{\displaystyle A}
是常数,
s
{\displaystyle s}
是直线族的变数)的包络线为抛物线 。[1] (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )
设曲线族的每条曲线
C
s
{\displaystyle C_{s))
为
t
↦
(
x
(
s
,
t
)
,
y
(
s
,
t
)
)
{\displaystyle t\mapsto (x(s,t),y(s,t))}
。
设存在包络线。由于包络线的每点都与曲线族的其中一条曲线的其中一点相切,对于任意的
s
{\displaystyle s}
,设
(
x
(
s
,
h
(
s
)
)
,
y
(
s
,
h
(
s
)
)
)
{\displaystyle (x(s,h(s)),y(s,h(s)))}
表示
C
s
{\displaystyle C_{s))
和包络线相切的那点。由此式可见,
s
{\displaystyle s}
是包络线的变数。要求出包络线,就即要求出
h
(
s
)
{\displaystyle h(s)}
。
在
C
s
{\displaystyle C_{s))
的切向量为
<
∂
x
∂
t
,
∂
y
∂
t
>
{\displaystyle <{\frac {\partial x}{\partial t)),{\frac {\partial y}{\partial t))>}
,其中
t
=
h
(
s
)
{\displaystyle t=h(s)}
。
在E的切向量为
<
d
x
d
s
,
d
y
d
s
>
{\displaystyle <{\frac {dx}{ds)),{\frac {dy}{ds))>}
。因为
x
{\displaystyle x}
是
s
{\displaystyle s}
和
t
{\displaystyle t}
的函数,而此处
t
=
h
(
s
)
{\displaystyle t=h(s)}
,局部求导有:
d
x
d
s
=
∂
x
∂
h
d
h
d
s
+
∂
x
∂
s
d
s
d
s
=
∂
x
∂
h
h
′
(
s
)
+
∂
x
∂
s
{\displaystyle {\frac {dx}{ds))={\frac {\partial x}{\partial h)){\frac {dh}{ds))+{\frac {\partial x}{\partial s)){\frac {ds}{ds))={\frac {\partial x}{\partial h))h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s))}
类似地得
d
y
d
s
=
∂
y
∂
h
h
′
(
s
)
+
∂
y
∂
s
{\displaystyle {\frac {dy}{ds))={\frac {\partial y}{\partial h))h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s))}
。
因为
E
{\displaystyle E}
和
C
s
{\displaystyle C_{s))
在该点相切,因此其切向量应平行,故有
∂
x
∂
t
=
λ
(
∂
x
∂
h
h
′
(
s
)
+
∂
x
∂
s
)
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t))=\lambda ({\frac {\partial x}{\partial h))h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s)))}
∂
y
∂
t
=
λ
(
∂
y
∂
h
h
′
(
s
)
+
∂
y
∂
s
)
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial t))=\lambda ({\frac {\partial y}{\partial h))h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s)))}
其中
λ
≠
0
{\displaystyle \lambda \neq 0}
。可用此两式消去
h
′
(
s
)
{\displaystyle h'(s)}
。整理后得:
∂
y
∂
h
∂
x
∂
s
=
∂
y
∂
s
∂
x
∂
h
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial h)){\frac {\partial x}{\partial s))={\frac {\partial y}{\partial s)){\frac {\partial x}{\partial h))}