在物理学里，特别是在量子力学里，处于某种状态的物理系统，它所具有的一些性质，可以经过一序列的物理运作过程而得知。这些可以得知的性质，称为可观察量（observable）。例如，物理运作可能涉及到施加电磁场于物理系统，然后使用实验仪器测量某物理量的数值。在经典力学的系统里，任何可以用实验测量获得的可观察量，都可以用定义于物理系统状态的实函数来表示。在量子力学里，物理系统的状态称为量子态，其与可观察量的关系更加微妙，必须使用线性代数来解释。根据量子力学的数学表述，量子态可以用存在于希尔伯特空间的态向量来代表，量子态的可观察量可以用厄米算符来代表。

数学表述

本征态

假设，物理量${\displaystyle O}$是某量子系统的可观察量，其对应的量子算符${\displaystyle {\hat {O))}$，可能有很多不同的本征值${\displaystyle O_{i))$与对应的本征态${\displaystyle |e_{i}\rangle }$，这些本征态${\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}$，形成了具有正交归一性的基底：^[1]:96-99

${\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij))$；

其中，${\displaystyle \delta _{ij))$是克罗内克函数。

任何描述这量子系统的量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$，都可以用这基底的本征态表示为

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle }$；

其中，${\displaystyle c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle }$是复系数，是在量子态${\displaystyle |e_{i}\rangle }$里找到量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$的概率幅。^[2]:50

假设，量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$等于这些本征态之中的一个本征态${\displaystyle |e_{k}\rangle }$，则对于这量子系统，测量可观察量${\displaystyle O}$，得到的结果必定等与本征值${\displaystyle O_{k))$，概率为1，量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$是“确定态”。

统计诠释

根据统计诠释，对应于可观察量的量子算符可能有很多本征值，测量结果只能是其中一个本征值，而且，每一个本征值出现的机会呈概率性。测量这个动作会将量子系统的量子态改变为对应于本征值的本征态，并且，在之后短暂片刻内，量子系统的量子态仍旧是这本征态。^[1]:106-109

假设，某量子系统的量子态为

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle }$。

测量这个动作会将量子系统的量子态改变为算符${\displaystyle {\hat {O))}$的一个本征态。假设量子态改变为本征态${\displaystyle |e_{i}\rangle }$，则改变为这本征态的概率为${\displaystyle p_{i}=|c_{i}|^{2))$，测量结果是本征值${\displaystyle O_{i))$，得到这本征值的概率也为${\displaystyle p_{i))$。在测量之后短暂片刻内，量子系统的量子态仍旧是本征态${\displaystyle |e_{i}\rangle }$。

将算符${\displaystyle {\hat {O))}$作用于量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$，会形成新量子态${\displaystyle |\phi \rangle }$：

${\displaystyle |\phi \rangle ={\hat {O))|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O))|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle }$。

从左边乘以量子态${\displaystyle \langle \psi |}$，经过一番运算，可以得到

${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O))|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i))$。

所以，每一个本征值与其概率的乘积，所有乘积的代数和就是可观察量${\displaystyle O}$的期望值：

${\displaystyle \langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=))\ \langle \psi |{\hat {O))|\psi \rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i))$。

厄米算符

每一种经过测量而得到的物理量都是实数，因此，可观察量${\displaystyle O}$的期望值是实数：

${\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*))$。

对于任意量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$，这关系都成立：

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O))|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O))|\psi \rangle ^{*))$。

根据伴随算符的定义，假设${\displaystyle {\hat {O))^{\dagger ))$是${\displaystyle {\hat {O))}$的伴随算符，则${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O))|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O))^{\dagger }|\psi \rangle }$。因此，

${\displaystyle {\hat {O))={\hat {O))^{\dagger ))$。

这正是厄米算符的定义。所以，表现可观察量的算符，都是厄米算符。^[1]:96-99

不相容可观察量

假若两种可观察量的对易算符不等于0，则称这两种可观察量为“不相容可观察量”：^[1]:110-112

${\displaystyle [{\hat {A)),{\hat {B))]\neq 0}$；

其中，${\displaystyle {\hat {A))}$、${\displaystyle {\hat {B))}$分别是可观察量${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$的算符。

这两种算符${\displaystyle {\hat {A))}$与${\displaystyle {\hat {B))}$绝对不会有共同的基底。一般而言，${\displaystyle {\hat {A))}$的本征态与${\displaystyle {\hat {B))}$的本征态不同^{[注 1]}假设量子系统的量子态为${\displaystyle |\psi \rangle }$。对于算符${\displaystyle {\hat {A))}$，所有本征值为${\displaystyle a_{i))$的本征态${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}$，形成一个基底。量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$可以表示为这组基底本征态的线性组合：

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|\alpha _{i}\rangle }$；

其中，${\displaystyle c_{i}=\langle \alpha _{i}|\psi \rangle }$是复系数，是在量子态${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$里找到量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$的概率幅。^[2]:50

对于算符${\displaystyle {\hat {B))}$，所有本征值为${\displaystyle b_{i))$的本征态${\displaystyle |\beta _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}$，形成了另外一个基底。量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$可以表示为这组基底本征态的线性组合：

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ d_{i}|\beta _{i}\rangle }$；

其中，${\displaystyle d_{i}=\langle \beta _{i}|\psi \rangle }$是复系数，是在量子态${\displaystyle |\beta _{i}\rangle }$里找到量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$的概率幅。^[2]:50

对于量子系统的可观察量${\displaystyle A}$做测量，可能得到的结果是各种本征态${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$的本征值${\displaystyle a_{i))$，获得这些不同结果的机会具有概率性，可以表达为概率分布，结果为${\displaystyle a_{i))$的概率是${\displaystyle |c_{i}|^{2))$。

假设测量的结果是本征值${\displaystyle a_{j))$，则可以推断，在测量之后短暂片刻内，量子态是本征态${\displaystyle |\alpha _{j}\rangle }$。假若立刻再测量可观察量${\displaystyle A}$，由于量子态仍旧是本征态${\displaystyle |\alpha _{j}\rangle }$，所得到的测量值是本征值${\displaystyle a_{i))$概率为1。假若立刻再对本征态${\displaystyle |\alpha _{j}\rangle }$测量可观察量${\displaystyle B}$，则会得到统计性的答案。假设测量的结果是本征值${\displaystyle b_{k))$，则可以推断，在测量之后短暂片刻内，量子态是本征态${\displaystyle |\beta _{k}\rangle }$。

根据不确定性原理，

${\displaystyle \Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {A)),{\hat {B))]\rangle }{2i))\right|}$。

设定${\displaystyle \chi =\left|{\frac {\langle [{\hat {A)),{\hat {B))]\rangle }{2i))\right|}$。假设，${\displaystyle A}$与${\displaystyle B}$是两个不相容可观察量，则${\displaystyle \chi >0}$。而${\displaystyle A}$的不确定性与${\displaystyle B}$的不确定性的乘积${\displaystyle \Delta A\ \Delta B}$，必定大于或等于${\displaystyle \chi }$。

实例

为了具体计算位置与动量的期望值，可以将量子态表现于位置空间，以位置空间的波函数来表示，使用对应的代数算符。

位置与动量

位置${\displaystyle x}$，动量${\displaystyle p}$都是可观察量，它们的算符都是厄米算符：

${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}x\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ (x\psi )^{*}\psi \ dx=\langle x\rangle ^{*))$，

${\displaystyle \langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}\left({\frac {\hbar }{i)){\frac {\partial }{\partial x))\psi \right)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i)){\frac {\partial }{\partial x))\psi \right)^{*}\psi \ dx=\langle p\rangle ^{*))$。

角动量

在三维空间里，角动量算符的x-分量${\displaystyle {\hat {L))_{x))$是厄米算符。因为

${\displaystyle \langle L_{x}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle =\langle L_{x}\rangle }$；

其中，${\displaystyle y}$与${\displaystyle z}$分别是位置的y-分量与z-分量，${\displaystyle p_{y))$与${\displaystyle p_{z))$分别是动量的y-分量与z-分量。

类似地，角动量算符的y-分量${\displaystyle {\hat {L))_{y))$也是厄米算符。

参阅

• 位置算符
• 动量算符
• 角动量算符
• 哈密顿算符

注释

参考文献