在量子力学里，重复地做同样实验，通常会得到不同的测量结果，期望值（expectation value）是理论平均值，可以用来预测测量结果的统计平均值。

量子力学显露出一种内禀统计行为。同样的一个实验重复地做很多次，每次实验的测量结果通常不会一样，只有从很多次的实验结果计算出来的统计平均值，才是可克隆的数值。量子理论不能预测单次实验的测量结果，量子理论可以用期望值来预测多次实验得到的统计平均值。

采用狄拉克标记，假设量子系统的量子态为 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ，则对于这量子态，可观察量 ${\displaystyle O}$ 的期望值 ${\displaystyle \langle O\rangle }$ 定义为^[1]:24-25

${\displaystyle \langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=))\ \langle \psi |{\hat {O))|\psi \rangle }$ ；

其中，${\displaystyle {\hat {O))}$ 是对应于可观察量 ${\displaystyle O}$ 的算符。

虽然量子力学与经典力学计算实验平均值的方法相同，但是，量子力学形式论里对于可观察量的数学表述与经典的测度论有很显著的不同。对应于可观察量的量子算符可能有很多本征值，而测量结果只能是其中一个本征值，而且，每一个本征值出现的机会呈概率性。测量这个动作会将量子系统的量子态改变为对应于本征值的本征态，并且，在之后短暂片刻内，量子系统的量子态是这本征态。

以数学表述，对应于可观察量 ${\displaystyle O}$ 的量子算符 ${\displaystyle {\hat {O))}$ 是一个厄米算符，量子态是以态矢量的形式存在于矢量空间。^[1]:11假设量子系统的量子态为 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ，则对于这量子态，可观察量 ${\displaystyle O}$ 的期望值 ${\displaystyle \langle O\rangle }$ 定义为^[1]:24-25

${\displaystyle \langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=))\ \langle \psi |{\hat {O))|\psi \rangle }$ 。

假设算符 ${\displaystyle {\hat {O))}$ 的一组本征态 ${\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots \ }$ 形成了一个具有正交归一性的基底：

${\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij))$ ；

其中，${\displaystyle \delta _{ij))$ 是克罗内克函数。

本征态 ${\displaystyle |e_{i}\rangle }$ 的本征值为 ${\displaystyle O_{i))$ ：

${\displaystyle {\hat {O))|e_{i}\rangle =O_{i}|e_{i}\rangle }$ 。

量子态 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 可以展开为这些本征态的线性组合：

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|e_{i}\rangle }$ ；

其中，${\displaystyle c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle }$ 是复系数，是在量子态 ${\displaystyle |e_{i}\rangle }$ 里找到量子态 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 的概率幅。^[1]:50

应用全等式

${\displaystyle \sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=1}$ ，

可观察量 ${\displaystyle O}$ 的期望值可以写为

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle O\rangle &=\langle \psi |{\hat {O))|\psi \rangle \\&=\sum _{i,j}\langle \psi |e_{i}\rangle \langle e_{i}|{\hat {O))|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi \rangle \\&=\sum _{i,j}\langle \psi |e_{i}\rangle \langle e_{i}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi \rangle O_{i}\\&=\sum _{i}|\langle e_{i}|\psi \rangle |^{2}O_{i}\\\end{aligned))}$ 。

这表达式很像是一个算术平均式，它表明了期望值的物理意义：本征值 ${\displaystyle O_{i))$ 是实验的可能结果，对应的系数 ${\displaystyle |\langle e_{i}|\psi \rangle |^{2}=|c_{i}|^{2))$ 是这结果可能会发生的概率。总合所有本征值与其对应的概率系数的乘积，就可以得到期望值。

当思考动力量子系统时，态矢量 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 或算符 ${\displaystyle {\hat {O))}$ ，两者之中，任何一个，都可以设定为与时间有关，这决定于采用薛定谔绘景或海森堡绘景。不论选择的是那一种绘景，最后求得的期望值都是相同的。

在海森堡绘景里，算符被设定为与时间有关，而量子态则在初始时间 ${\displaystyle t=0}$ 就被固定，与时间无关。另一种称为薛定谔绘景的理论方法设定量子算符与时间无关，又设定量子态与时间有关。在概念方面或在数学方面，这两种绘景等价，推导出的结果一样。大多数初级量子力学教科书采用的是薛定谔绘景，通过生动活泼的量子态，学生可以迅速地了解量子系统如何随着时间演变。海森堡绘景比较适用于研究一些像对称性或守恒定律的基础论题领域，例如量子场论，或者研究超大自由度系统的学术，例如统计力学。^[2]

系综是一组量子系统。概念而言，在系综里，量子系统的数量为无穷多。系综又分为纯系综与混系综。纯系综的每一个量子系统都具有同样的量子态，这量子态也可以用来代表纯系综。前面几节所论述的对象主要是纯系综。^[1]:178-185例如，从施特恩-格拉赫实验仪器分裂出来的两道银子束，一道是量子态为上旋的纯系综 ${\displaystyle {\mathcal {E))_{up))$ ，另一道是量子态为下旋的纯系综 ${\displaystyle {\mathcal {E))_{down))$ 。

混系综的量子系统可以具有不同的量子态 ${\displaystyle |\psi ^{(i)}\rangle }$ 。例如，在有一种混系综 ${\displaystyle {\mathcal {E))_{mix))$ 的所有量子系统里，量子态为上旋的占50%，量子态为上旋的占50%。混系综不能用单独态矢量设定，混系综是用密度算符 ${\displaystyle {\hat {\rho ))}$ 设定：

${\displaystyle {\hat {\rho ))=\sum _{i}w_{i}|\psi ^{(i)}\rangle \langle \psi ^{(i)}|}$ ；

其中，${\displaystyle w_{i))$ 是找到量子态为 ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ 的量子系统在系综里的概率。

• 纯系综 ${\displaystyle {\mathcal {E))_{up))$ 的密度算符为 ${\displaystyle |\uparrow \rangle \langle \uparrow |}$ 。
• 纯系综 ${\displaystyle {\mathcal {E))_{down))$ 的密度算符为 ${\displaystyle |\downarrow \rangle \langle \downarrow |}$ 。
• 混系综 ${\displaystyle {\mathcal {E))_{mix))$ 的密度算符为 ${\displaystyle {\frac {1}{2))(|\uparrow \rangle \langle \uparrow |+|\downarrow \rangle \langle \downarrow |)}$ 。

以算符 ${\displaystyle {\hat {O))}$ 的本征态 ${\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots \ }$ 形成的基底来表示对应于密度算符的密度矩阵 ${\displaystyle \rho }$ ：

${\displaystyle \rho _{jk}=\langle e_{j}|\rho |e_{k}\rangle =\sum _{i}w_{i}\langle e_{j}|\psi ^{(i)}\rangle \langle \psi ^{(i)}|e_{k}\rangle }$ ；

对于系综测量可观察量 ${\displaystyle O}$ 得到的“系纵平均值”又称为“系综期望值”，简称“期望值”，以方程表示为

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle O\rangle &=\sum _{i}w_{i}\langle \psi ^{(i)}|{\hat {O))|\psi ^{(i)}\rangle \\&=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}\langle \psi ^{(i)}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|{\hat {O))|\psi ^{(i)}\rangle \\&=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}\langle \psi ^{(i)}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi ^{(i)}\rangle O_{j}\\&=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}|\langle \psi ^{(i)}|e_{j}\rangle |^{2}O_{j}\\\end{aligned))}$ 。

对于一般可观察量 ${\displaystyle A}$ ，系纵平均值表示为

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &=\sum _{i}w_{i}\langle \psi ^{(i)}|{\hat {A))|\psi ^{(i)}\rangle \\&=\sum _{i}\sum _{j,k}w_{i}\langle \psi ^{(i)}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|{\hat {A))|e_{k}\rangle \langle e_{k}|\psi ^{(i)}\rangle \\&=\sum _{i}\sum _{j,k}w_{i}\langle e_{k}|\psi ^{(i)}\rangle \langle \psi ^{(i)}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|{\hat {A))|e_{k}\rangle \\&=\sum _{j,k}\rho _{kj}\langle e_{j}|{\hat {A))|e_{k}\rangle \\&=Trace(\rho A)\\\end{aligned))}$ ；

其中，${\displaystyle Trace(\rho A)}$ 是矩阵 ${\displaystyle \rho A}$ 的迹数。

总结，

${\displaystyle \langle A\rangle =\mathrm {Trace} (\rho A)=\sum _{i}w_{i}\langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}w_{i}\langle A\rangle _{\psi _{i))}$ ；

其中，${\displaystyle \langle A\rangle _{\psi _{i))}$ 是对于量子态 ${\displaystyle \psi _{i))$ ，可观察量 ${\displaystyle A}$ 的期望值。

举一个相当简单的例子，假设 ${\displaystyle {\hat {\Lambda ))}$ 是一个投影算符，则本征值为 ${\displaystyle 0}$ 或 ${\displaystyle 1}$ 。这对应于一种“是非题”类型的物理实验，这例子的期望值是实验结果为 ${\displaystyle 1}$ 的概率，可以计算为

${\displaystyle \langle \Lambda \rangle =|{\hat {\Lambda ))\psi |^{2))$ 。

采用位置空间表现，设想一个移动于一维空间的量子粒子。在这里，希尔伯特空间是 ${\displaystyle {\mathcal {H))=L^{2}(\mathbb {R} )}$ ，是实值定义域的平方可积函数的空间。^[1]:11

波函数 ${\displaystyle \psi (x)}$ 定义为

${\displaystyle \psi (x)\ {\stackrel {def}{=))\ \langle x|\psi \rangle }$ ；

其中，${\displaystyle |x\rangle }$ 是位置算符 ${\displaystyle {\hat {x))}$ 的本征态。

两个态矢量的内积是

${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{*}(x)\psi _{2}(x)\,\mathrm {d} x}$ 。

对于任意量子态 ${\displaystyle \psi }$ ，可观察量 ${\displaystyle x}$ 的期望值为

${\displaystyle \langle x\rangle \ {\stackrel {def}{=))\ \langle \psi |{\hat {x))|\psi \rangle }$ 。

位置算符 ${\displaystyle {\hat {x))}$ 作用于量子态 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 的结果，表现于位置空间，等价于波函数 ${\displaystyle \psi (x)}$ 与 ${\displaystyle x}$ 的乘积，所以，

${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }x\,|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x}$ 。

粒子处于 ${\displaystyle x}$ 与 ${\displaystyle x+dx}$ 微小区间内的概率是

${\displaystyle p(x)\mathrm {d} x=\psi ^{*}(x)\psi (x)\mathrm {d} x}$ 。

粒子位置与概率的乘积在位置空间的积分，就是粒子位置的期望值。

通常而言，对于可观察量 ${\displaystyle O}$ 的量子算符 ${\displaystyle {\hat {O))}$ ，假若能够找到其表现于位置空间的位置算符 ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {O))))$ 的形式，就可以计算出 ${\displaystyle O}$ 的期望值。例如，表现于位置空间的动量算符 ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {P))))$ 的形式为：

${\displaystyle {\hat {\mathfrak {P))}={\frac {\hbar }{i)){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x))}$ 。

所以，动量的期望值为

${\displaystyle \langle P\rangle ={\frac {\hbar }{i))\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx))\,\mathrm {d} x}$ 。

• 维里定理
• 埃伦费斯特定理

• Isham, Chris J. Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. Imperial College Press. 1995. ISBN 978-1860940019.