二元运算是种数学运算，它的运算结果跟两个输入值必须是同种东西，即元数为2的运算。比如说，两个整数的加法是二元运算，因整数相加以后仍然是整数。

定义

如果从集合 ${\displaystyle A}$ 对自己的笛卡儿积 （也就是 ${\displaystyle A\times A}$ ）取出的任意 ${\displaystyle (a,\,b)}$ ，都会对应 ${\displaystyle A}$的某个值 ${\displaystyle \mathrm {F} (a,\,b)}$ ，那对应规则 ${\displaystyle \mathrm {F} }$ 的本身就被称为二元运算。

${\displaystyle \mathrm {F} (a,\,b)}$ 通常写为 ${\displaystyle a\mathrm {F} b}$ ，而且比起使用字母，二元运算时常以某种运算符表示，来跟普通的函数作区别。

事实上 ${\displaystyle \mathrm {F} :A\times A\rightarrow A}$ 这个记号本身就保证了：“只要 ${\displaystyle a,\,b\in A}$ 就会有 ${\displaystyle a\mathrm {F} b\in A}$ ”，这个性质也称为（二元）运算封闭性。

常用性质和术语

关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：

单位元

设 ${\displaystyle \circ :A\times A\to A}$ 是集合 ${\displaystyle A}$ 上的二元运算，${\displaystyle e\in A}$，则：

• 称 ${\displaystyle e}$ 为一个 ${\displaystyle A}$ 的左幺元，若 ${\displaystyle e}$ 满足：${\displaystyle \forall a\in A,e\circ a=a}$；
• 称 ${\displaystyle e}$ 为一个 ${\displaystyle A}$ 的右幺元，若 ${\displaystyle e}$ 满足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ e=a}$；
• 称 ${\displaystyle e}$ 为 ${\displaystyle A}$ 的幺元，若 ${\displaystyle e}$ 既是左幺元、又是右幺元。

逆元

设 ${\displaystyle \circ :A\times A\to A}$ 是集合 ${\displaystyle A}$ 上带有单位元 ${\displaystyle e}$ 的二元运算， ${\displaystyle a,a'\in A}$ 。则：

• 称 ${\displaystyle a'}$ 是一个 ${\displaystyle a}$ 的左逆元，若 ${\displaystyle a,a'}$ 满足： ${\displaystyle a'\circ a=e}$。
• 称 ${\displaystyle a'}$ 是一个 ${\displaystyle a}$ 的右逆元，若 ${\displaystyle a,a'}$ 满足： ${\displaystyle a\circ a'=e}$。
• 称 ${\displaystyle a'}$ 是 ${\displaystyle a}$ 的逆元，若 ${\displaystyle a'}$ 既是 ${\displaystyle a}$ 的左逆元、又是 ${\displaystyle a}$ 的右逆元。这种情况下 ${\displaystyle a'}$ 常被写作 ${\displaystyle a^{-1))$ 或 ${\displaystyle -a}$ 。

零元

设 ${\displaystyle \circ :A\times A\to A}$ 是集合 ${\displaystyle A}$ 上的二元运算， ${\displaystyle z\in A}$ ，则：

• 称 ${\displaystyle z}$ 为一个左零元，若 ${\displaystyle z}$ 满足： ${\displaystyle \forall a\in A,z\circ a=z}$ ；
• 称 ${\displaystyle z}$ 为一个右零元，若 ${\displaystyle z}$ 满足： ${\displaystyle \forall a\in A,a\circ z=z}$ ；
• 称 ${\displaystyle z}$ 为零元，若 ${\displaystyle z}$ 既是左零元、又是右零元。

零因子

设 ${\displaystyle \circ :A\times A\to A}$ 是集合 ${\displaystyle A}$ 上的带有零元 ${\displaystyle z}$ 的二元运算， ${\displaystyle a\in A}$ 且 ${\displaystyle a\neq z}$ 。则：

• 称 ${\displaystyle a}$ 是一个左零因子，若 ${\displaystyle a}$ 满足： ${\displaystyle \exists b\in A\setminus \{z\))$ ，使得 ${\displaystyle a\circ b=z}$ 。
• 称 ${\displaystyle a}$ 是一个右零因子，若 ${\displaystyle a}$ 满足： ${\displaystyle \exists b\in A\setminus \{z\))$ ，使得 ${\displaystyle b\circ a=z}$ 。
• 称 ${\displaystyle a}$ 是一个零因子，若 ${\displaystyle a}$ 既是左零因子、又是右零因子。

交换律

设 ${\displaystyle \circ :A\times A\to A}$ 是集合 ${\displaystyle A}$ 上的二元运算，则： 称 ${\displaystyle \circ }$ 满足交换律，若：${\displaystyle \forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a}$；

结合律

设 ${\displaystyle \circ :A\times A\to A}$ 是集合 ${\displaystyle A}$ 上的二元运算，则： 称 ${\displaystyle \circ }$ 满足结合律，若： ${\displaystyle \forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$；

消去律

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，则：

称${\displaystyle \circ }$满足左消去律，若${\displaystyle \circ }$满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A,{\text{if ))a\neq b,{\text{then ))c\circ a\neq c\circ b}$

称${\displaystyle \circ }$满足右消去律，若${\displaystyle \circ }$满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A,{\text{if ))a\neq b,{\text{then ))a\circ c\neq b\circ c}$

称${\displaystyle \circ }$满足消去律，若${\displaystyle \circ }$同时满足左消去律与右消去律。

幂等律

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，则： 称${\displaystyle \circ }$满足幂等律，若${\displaystyle \circ }$满足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ a=a}$；

幂幺律

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，i是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的幺元， 则：称${\displaystyle \circ }$满足幂幺律，若${\displaystyle \circ }$满足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ a=i}$（显然此时每个元素都是它自己的逆元）；

幂零律

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元运算，z是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的零元， 则：称${\displaystyle \circ }$满足幂零律，若${\displaystyle \circ }$满足：${\displaystyle \forall a\in A}$，有${\displaystyle a\circ a=z}$（显然此时每个元素都是零元，而且既是左零元又是右零元）；

分配律

设${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$和${\displaystyle \diamond }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的两个二元运算，则：

• 称${\displaystyle \circ }$对${\displaystyle \diamond }$ 满足左分配律，若${\displaystyle \circ }$，${\displaystyle \diamond }$ 满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A}$，有${\displaystyle a\circ (b\diamond c)=(a\circ b)\diamond (a\circ c)}$；
• 称${\displaystyle \circ }$对${\displaystyle \diamond }$ 满足右分配律，若${\displaystyle \circ }$，${\displaystyle \diamond }$ 满足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A}$，有${\displaystyle (b\diamond c)\circ a=(b\circ a)\diamond (c\circ a)}$；
• 称${\displaystyle \circ }$对${\displaystyle \diamond }$ 满足分配律，若${\displaystyle \circ }$对${\displaystyle \diamond }$ 同时满足左分配律和右分配律。