在概率论和统计学中,一个离散性随机变量的期望(或数学期望,亦简称期望,物理学中称为期待值)是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。换句话说,期望像是随机试验在同样的机会下重复多次,所有那些可能状态平均的结果,便基本上等同“期望”所期望的数。期望可能与每一个结果都不相等。换句话说,期望是该变量输出值的加权平均。期望并不一定包含于其分布值域,也并不一定等于值域平均值。
例如,掷一枚公平的六面骰子,其每次“点数”的期望是3.5,计算如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=1\cdot {\frac {1}{6))+2\cdot {\frac {1}{6))+3\cdot {\frac {1}{6))+4\cdot {\frac {1}{6))+5\cdot {\frac {1}{6))+6\cdot {\frac {1}{6))\\[6pt]&={\frac {1+2+3+4+5+6}{6))=3.5\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85913408feb11576c17e1e9827dade2177170d96)
不过如上所说明的,3.5虽是“点数”的期望,但却不属于可能结果中的任一个,没有可能掷出此点数。
数学定义
如果
是在概率空间
中的随机变量,那么它的期望
的定义是:
![{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ab8efaa4e279814bdb7dcbd04aa231796f105e)
并不是每一个随机变量都有期望的,因为有的时候上述积分不存在。
如果两个随机变量的分布相同,则它们的期望也相同。
如果
是离散的随机变量,输出值为
,和输出值相应的概率为
(概率和为1)。
若级数
绝对收敛,那么期望
是一个无限数列的和。
![{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}p_{i}x_{i))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6194ffb672c07744b9caf5017b157ba185b005)
如果
是连续的随机变量,存在一个相应的概率密度函数
,若积分
绝对收敛,那么
的期望可以计算为:
。
是针对于连续的随机变量的,与离散随机变量的期望的算法同出一辙,由于输出值是连续的,所以把求和改成了积分。
期望的运用
在统计学中,估算变量的期望时,经常用到的方法是重复测量此变量的值,再用所得数据的平均值来估计此变量的期望。
在概率分布中,期望和方差或标准差是一种分布的重要特征。
在古典力学中,物体重心的算法与期望的算法十分近似。
在赌博中,期望又称预期值、长期效果值、合理价值、期待值,都能完全贴和,而其计算的方式为:
(期望)
胜的概率
获胜的筹码
输的概率
输掉的筹码
期望也可以通过方差计算公式来计算方差:
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} (X)^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f625bd51f996dfae9510b3ff85a21c6c4a0091)
(平方期望减的期望平方)