有限应变理论（finite strain theory）也称为大应变理论或大形变理论，是连续介质力学中处理有较大应变或转动的形变，已不符合无限小应变理论假设下的理论。此情形下，物体在未形变的组态及已形变的组态有明显的不同。有限应变理论常用于弹性体、塑性变形材料、流体及生物软组织。

位移场

物体的位移可以分为二个分量：刚体位移以及形变。

• 刚体位移包括物体的平移或旋转，物体的形状、大小都维持不变。
• 形变表示物体形状或大小的变化，从未形变的组态${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B)))}$变成形变后的组态${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B)))}$。

连续体组态的变化可以用位移场来描述。位移场是物体中所有点的位移向量组合成的场，可以找到形变后组态和形变前组态之间的关系。物体中二点之间的距离改变，当且仅当物体出现形变。若物体有位移，但没有形变，即为刚体运动。

位移梯度张量

位移梯度张量（deformation gradient tensor）${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K))$和形变前的组态以及目前的组态有关，可以从单位向量${\displaystyle \mathbf {e} _{j))$和${\displaystyle \mathbf {I} _{K}\,\!}$中看出，因此其为二点张量（英语：two-point tensor）。

可以定义二种位移梯度张量。

假设${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$有连续性，则${\displaystyle \mathbf {F} }$存在逆元素${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$，其中${\displaystyle \mathbf {H} }$为空间位移梯度张量（spatial deformation gradient tensor）。 根据隐函数定理^[1]，其雅可比判别式${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)}$是非奇点，也就是${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0}$。

物质位移梯度张量（material deformation gradient tensor）${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K))$表示映射函数或是泛函关系${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$梯度的二维张量（ 映射函数或是泛函关系${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$描述连续介质的运动）。材料位移梯度张量可以说明位置向量为${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$的物质点的局部形变（也就是相对邻近点的形变），其作法是对一个点的物质线元素进行线性映射，从原始组态映射到形变后的组态，其中也是假设映射函数${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$的连续性，也就是其为${\displaystyle \mathbf {X} }$和时间${\displaystyle t\,\!}$的可微函数，也就是其形变不会让crack或是void打开或是关闭。因此可得 $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} ))\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or))&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j)){\partial X_{K))}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or))&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned))}$$

相关条目

• 无限小应变理论
• 应变协调性
• 曲线坐标（英语：Curvilinear coordinates）
• 应力量测（英语：Stress measures）
• 应变分区（英语：Strain partitioning）

参考资料

外部链接

• Prof. Amit Acharya's notes on compatibility on iMechanica （页面存档备份，存于互联网档案馆）

查 论 编 连续介质力学 基本定律 质量守恒 动量守恒 能量守恒 熵不等式 固体力学 固体 形变 弹性 塑性 胡克定律 应力 应变 有限应变理论 无穷小应变理论 杨氏模量 剪切模量 体积模量 泊松比 弯曲 流体力学 流体 流量 流体静力学 黏度 表面张力 流体动力学 牛顿流体 非牛顿流体 伯努利定律 流变学 黏弹性 流变测量 流变仪 智能流体 电流变液（英语：Electrorheological fluid） 磁流变液（英语：Magnetorheological fluid） 铁磁流体 科学家 波义耳 胡克 牛顿 伯努利 盖-吕萨克 纳维 柯西 斯托克斯