本条目中,矢量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如,位置矢量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
表示;而其大小则用
r
{\displaystyle r\,\!}
来表示。 四维矢量用加有标号的斜体 显示。例如,
x
μ
{\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}
或
x
μ
{\displaystyle {x}_{\mu }\,\!}
。为了避免歧意,四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如,
(
x
)
2
{\displaystyle (x)^{2}\,\!}
表示
x
{\displaystyle x\,\!}
平方;而
x
2
{\displaystyle {x}^{2}\,\!}
是
x
μ
{\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}
的第二个分量。 在相对论 里,四维矢量 (four-vector )是实值四维矢量空间 里的矢量 。这四维矢量空间 称为闵可夫斯基时空 。四维矢量的分量分别为在某个时间 点与三维空间 点的四个数量。在闵可夫斯基时空内的任何一点,都代表一个“事件”,可以用四维矢量表示。从任意惯性参考系 观察某事件所获得的四维矢量,通过洛伦兹变换 ,可以变换为从其它惯性参考系 观察该事件所获得的四维矢量。
本文章只思考在狭义相对论 范围内的四维矢量,尽管四维矢量的概念延伸至广义相对论 。在本文章内写出的一些结果,必须加以修改,才能在广义相对论范围内成立。
在闵可夫斯基时空里,不同惯性参考系的坐标轴 在闵可夫斯基时空 内的任何一点,都可以用四维矢量(一组标准基底 的四个坐标)
x
μ
=
(
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle {x}^{\mu }=({x}^{0},\,{x}^{1},\,{x}^{2},\,{x}^{3})}
来表示;其中,上标
μ
=
0
,
1
,
2
,
3
{\displaystyle \mu =0,\,1,\,2,\,3}
标记时空 的维数次序。称这四维矢量为“坐标四维矢量”,又称“四维坐标”,定义为
x
μ
=
d
e
f
(
c
t
,
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ (ct,\,x,\,y,\,z)}
;其中,
c
{\displaystyle c}
是光速 ,
t
{\displaystyle t}
是时间,
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\,y,\,z)}
是位置的三维直角坐标 。
为了确使每一个坐标的单位都是长度单位,定义
x
0
=
d
e
f
c
t
{\displaystyle {x}^{0}\ {\stackrel {def}{=))\ ct}
。
“四维位移”定义为两个事件之间的矢量差。在时空图 里,四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点 时,位移就是位置。四维位移
Δ
x
μ
{\displaystyle \Delta {x}^{\mu ))
表示为
Δ
x
μ
=
d
e
f
(
Δ
c
t
,
Δ
x
,
Δ
y
,
Δ
z
)
{\displaystyle \Delta {x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ (\Delta ct,\ \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}
。带有上标的四维矢量
U
μ
{\displaystyle {U}^{\mu ))
称为反变 矢量,其分量标记为
U
μ
=
(
U
0
,
U
1
,
U
2
,
U
3
)
{\displaystyle {U}^{\mu }=\ ({U}^{0},\,{U}^{1},\,{U}^{2},\,{U}^{3})}
。假若,标号是下标,则称四维矢量
U
μ
{\displaystyle {U}_{\mu ))
为协变 矢量。其分量标记为
U
μ
=
(
U
0
,
U
1
,
U
2
,
U
3
)
=
(
U
0
,
−
U
1
,
−
U
2
,
−
U
3
)
{\displaystyle {U}_{\mu }=\ ({U}_{0},\,{U}_{1},\,{U}_{2},\,{U}_{3})=\ ({U}^{0},\,-{U}^{1},\,-{U}^{2},\,-{U}^{3})}
。在这里,闵可夫斯基度规
η
μ
ν
{\displaystyle \eta _{\mu \nu ))
被设定为
η
μ
ν
=
d
e
f
(
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
)
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=))\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix))\right)}
。采用爱因斯坦求和约定 ,则四维矢量的协变坐标和反变坐标之间的关系为
U
μ
=
η
μ
ν
U
ν
{\displaystyle U_{\mu }=\eta _{\mu \nu }U^{\nu ))
。闵可夫斯基度规与它的“共轭度规张量”
η
μ
ν
{\displaystyle \eta ^{\mu \nu ))
相等:
η
μ
ν
=
d
e
f
(
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
)
{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=))\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix))\right)}
。给予两个惯性参考系
S
{\displaystyle {\mathcal {S))}
、
S
¯
{\displaystyle {\bar {\mathcal {S))))
;相对于参考系
S
{\displaystyle {\mathcal {S))}
,参考系
S
¯
{\displaystyle {\bar {\mathcal {S))))
以速度
v
=
v
x
^
{\displaystyle \mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {x} ))}
移动。对于这两个参考系,相关的“洛伦兹变换矩阵”
Λ
μ
ν
{\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu ))
是
Λ
μ
ν
=
(
γ
−
γ
β
0
0
−
γ
β
γ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix))\right)}
;其中,
γ
=
1
1
−
(
v
c
)
2
{\displaystyle \gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c))\right)^{2))))}
是洛伦兹因子 ,
β
=
v
c
{\displaystyle \beta ={\frac {v}{c))}
是“贝塔因子”。
对于这两个参考系
S
{\displaystyle {\mathcal {S))}
、
S
¯
{\displaystyle {\bar {\mathcal {S))))
,假设一个事件的四维坐标分别为
x
μ
{\displaystyle {x}^{\mu ))
、
x
¯
μ
{\displaystyle {\bar {x))^{\mu ))
。那么,这两个四维坐标之间的关系为
x
¯
μ
=
Λ
μ
ν
x
ν
{\displaystyle {\bar {x))^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu ))
、
x
μ
=
Λ
¯
μ
ν
x
¯
ν
{\displaystyle x^{\mu }={\bar {\Lambda ))^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {x))^{\nu ))
;其中,
Λ
¯
μ
ν
{\displaystyle {\bar {\Lambda ))^{\mu }{}_{\nu ))
是
Λ
μ
ν
{\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu ))
的反矩阵 ,
Λ
¯
μ
ν
=
(
γ
γ
β
0
0
γ
β
γ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\bar {\Lambda ))^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix))\right)}
。将这两个四维坐标之间的关系式合并为一,则可得到
x
¯
μ
=
Λ
μ
ν
x
ν
=
Λ
μ
ν
Λ
¯
ν
ξ
x
¯
ξ
{\displaystyle {\bar {x))^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda ))^{\nu }{}_{\xi }\ {\bar {x))^{\xi ))
。因此,可以找到洛伦兹变换矩阵的一个特性:
Λ
μ
ν
Λ
¯
ν
ξ
=
δ
μ
ξ
{\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda ))^{\nu }{}_{\xi }=\delta ^{\mu }{}_{\xi ))
;其中,
δ
μ
ξ
{\displaystyle \delta ^{\mu }{}_{\xi ))
是克罗内克函数 。
另外一个很有用的特性为
Λ
¯
μ
ν
=
η
α
ν
η
β
μ
Λ
α
β
{\displaystyle {\bar {\Lambda ))^{\mu }{}_{\nu }=\eta _{\alpha \nu }\ \eta ^{\beta \mu }\ \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta ))
;给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标,通过洛伦兹变换,就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时,所涉及的四维矢量,最好都能够具有这有用的性质。这样,可以使得数学分析更加精致犀利。以方程表示,对于两个参考系
S
{\displaystyle {\mathcal {S))}
、
S
¯
{\displaystyle {\bar {\mathcal {S))))
,具有这种有用性质的四维矢量
U
μ
{\displaystyle {U}^{\mu ))
、
U
¯
μ
{\displaystyle {\bar {U))^{\mu ))
满足
U
¯
μ
=
Λ
μ
ν
U
ν
{\displaystyle {\bar {U))^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ U^{\nu ))
、
U
μ
=
Λ
¯
μ
ν
U
¯
ν
{\displaystyle U^{\mu }={\bar {\Lambda ))^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {U))^{\nu ))
。在计算这四维矢量对于时间的导数时,若能选择固有时 为时间变数,则求得的四维矢量仍旧具有这有用的性质。因为,固有时乃是个不变量 ;改变惯性参考系不会改变不变量。
假设一个物体运动于闵可夫斯基时空。在“实验室参考系”里,物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻,选择与物体同样运动的惯性参考系,称为“瞬间共动参考系”(momentarily comoving reference frame)。在这瞬间共动参考系里,物体的速度为零,因此,这参考系也是物体的“瞬间静止参考系”。随着物体不断地改变运动速度与方向,新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。[1] :41-42 随着这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时,标记为
τ
{\displaystyle \tau }
。这就好像给物体挂戴一只手表,随着物体的运动,手表也会做同样的运动,而手表所纪录的时间就是固有时。
这物体的运动可以用一条世界线
x
(
τ
)
{\displaystyle x(\tau )}
来描述。由于时间膨胀 ,发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔
Δ
τ
{\displaystyle \Delta \tau }
与从别的惯性参考系
S
{\displaystyle {\mathcal {S))}
所观测到的微小时间间隔
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
的关系为
Δ
t
=
γ
Δ
τ
{\displaystyle \Delta t=\gamma \Delta \tau }
。所以,固有时
τ
{\displaystyle \tau }
对于其它时间
t
{\displaystyle t}
的导数为
d
τ
d
t
=
1
γ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t))={\frac {1}{\gamma ))}
。在闵可夫斯基空间里,两个四维矢量
U
μ
{\displaystyle U^{\mu ))
与
V
μ
{\displaystyle V_{\mu ))
的内积 ,称为闵可夫斯基内积 ,以方程表示为:
U
μ
V
μ
=
d
e
f
U
0
V
0
−
U
1
V
1
−
U
2
V
2
−
U
3
V
3
{\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ U^{0}V^{0}-U^{1}V^{1}-U^{2}V^{2}-U^{3}V^{3))
。由于这内积并不具正定性 ,即
U
μ
U
μ
=
(
U
0
)
2
−
(
U
1
)
2
−
(
U
2
)
2
−
(
U
3
)
2
{\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=(U^{0})^{2}-(U^{1})^{2}-(U^{2})^{2}-(U^{3})^{2))
可能会是负数;而欧几里得内积 一定不是负数。
许多学者喜欢使用相反正负号的
η
{\displaystyle \eta }
:
η
μ
ν
=
d
e
f
(
−
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=))\ \left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix))\right)}
。这样,
U
μ
{\displaystyle U^{\mu ))
与
V
μ
{\displaystyle V_{\mu ))
的内积改变为
U
μ
V
μ
=
−
U
0
V
0
+
U
1
V
1
+
U
2
V
2
+
U
3
V
3
{\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }=-U^{0}V^{0}+U^{1}V^{1}+U^{2}V^{2}+U^{3}V^{3))
。其它相联的量值也会因而改变正负号,但这不会改变系统的物理性质。
从参考系
S
{\displaystyle {\mathcal {S))}
改换至另一参考系
S
¯
{\displaystyle {\overline {\mathcal {S))))
,
U
μ
{\displaystyle U^{\mu ))
与
V
μ
{\displaystyle V_{\mu ))
的内积为
U
μ
V
μ
=
Λ
¯
μ
α
U
¯
α
η
μ
β
V
β
=
Λ
¯
μ
α
U
¯
α
η
μ
β
Λ
¯
β
ξ
V
¯
ξ
=
Λ
¯
μ
α
U
¯
α
η
μ
β
Λ
¯
β
ξ
η
ξ
ζ
V
¯
ζ
=
Λ
¯
μ
α
U
¯
α
Λ
¯
ζ
μ
V
¯
ζ
=
δ
ζ
α
U
¯
α
V
¯
ζ
=
U
¯
α
V
¯
α
{\displaystyle {U}^{\mu }{V}_{\mu }={\overline {\Lambda ))^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U))^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }{V}^{\beta }={\overline {\Lambda ))^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U))^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda ))^{\beta }{}_{\xi }\ {\overline {V))^{\xi }={\overline {\Lambda ))^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U))^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda ))^{\beta }{}_{\xi }\ \eta ^{\xi \zeta }\ {\overline {V))_{\zeta }={\overline {\Lambda ))^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U))^{\alpha }\ {\overline {\Lambda ))^{\zeta }{}_{\mu }\ {\overline {V))_{\zeta }=\delta ^{\zeta }{}_{\alpha }\ {\overline {U))^{\alpha }\ {\overline {V))_{\zeta }={\overline {U))^{\alpha }{\overline {V))_{\alpha ))
。所以,在闵可夫斯基时空内,两个四维矢量的内积是个不变量 :[1] :44-46
U
μ
V
μ
=
U
¯
μ
V
¯
μ
{\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }={\overline {U))^{\mu }{\overline {V))_{\mu ))
。四维矢量可以分类为类时 ,类空 ,或类光 (零矢量 ):
类时矢量:
U
μ
U
μ
>
0
{\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }>0}
,
类空矢量:
U
μ
U
μ
<
0
{\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }<0}
,
类光矢量:
U
μ
U
μ
=
0
{\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=0}
。 设想一个物体运动于闵可夫斯基时空,则其世界线的任意事件
x
μ
(
τ
)
{\displaystyle x^{\mu }(\tau )}
的四维速度
U
μ
{\displaystyle U^{\mu ))
定义为[1] :46-48
U
μ
=
d
e
f
d
x
μ
d
τ
=
d
t
d
τ
d
x
μ
d
t
=
(
γ
c
,
γ
u
)
{\displaystyle U^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu )){\mathrm {d} \tau ))={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau ))\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu )){\mathrm {d} t))=\left(\gamma c,\ \gamma \mathbf {u} \right)}
;其中,
u
=
(
d
x
1
d
t
,
d
x
2
d
t
,
d
x
3
d
t
)
{\displaystyle \mathbf {u} =\left({\frac {\mathrm {d} x^{1)){\mathrm {d} t)),\,{\frac {\mathrm {d} x^{2)){\mathrm {d} t)),\,{\frac {\mathrm {d} x^{3)){\mathrm {d} t))\right)}
是三维速度 ,或经典速度矢量。
U
μ
{\displaystyle U^{\mu ))
的空间部分与经典速度
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
的关系为
(
U
1
,
U
2
,
U
3
)
=
γ
u
{\displaystyle \left(U^{1},\,U^{2},\,U^{3}\right)=\gamma \mathbf {u} }
。四维速度与自己的内积等于光速平方,是一个不变量:
U
μ
U
μ
=
c
2
{\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=c^{2))
。在物体的瞬间共动参考系里,物体的速度为零,因此,四维速度为
(
c
,
0
,
0
,
0
)
M
C
R
F
{\displaystyle \left(c,0,0,0\right)_{MCRF))
,其方向与瞬间共动参考系的第零个基底矢量
e
^
0
=
(
1
,
0
,
0
,
0
)
M
C
R
F
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} ))_{0}=\left(1,0,0,0\right)_{MCRF))
同向;
其中,
M
C
R
F
{\displaystyle MCRF}
表示从瞬间共动参考系观察得到的数据。
四维加速度
α
μ
{\displaystyle \alpha ^{\mu ))
定义为 [1] :46-48
α
μ
=
d
e
f
d
U
μ
d
τ
=
(
γ
γ
˙
c
,
γ
γ
˙
u
+
γ
2
u
˙
)
{\displaystyle \alpha ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ {\frac {\mathrm {d} U^{\mu )){\mathrm {d} \tau ))=\left(\gamma {\dot {\gamma ))c,\,\gamma {\dot {\gamma ))\mathbf {u} +\gamma ^{2}{\dot {\mathbf {u} ))\right)}
。经过一番运算,可以得到洛伦兹因子对于时间的导数:
γ
˙
=
d
γ
d
t
=
γ
3
(
u
⋅
a
)
/
c
2
{\displaystyle {\dot {\gamma ))={\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t))=\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c^{2))
;其中,
a
=
d
u
d
t
{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t))}
是经典加速度 。
所以,四维加速度
α
μ
{\displaystyle \alpha ^{\mu ))
可以表示为
α
μ
=
(
γ
4
(
u
⋅
a
)
/
c
,
γ
2
a
+
γ
4
(
u
⋅
a
)
u
/
c
2
)
{\displaystyle \alpha ^{\mu }=\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)}
。由于
U
μ
U
μ
{\displaystyle U_{\mu }U^{\mu ))
是个常数,四维加速度与四维速度相互正交 ;也就是说,四维速度与四维加速度的闵可夫斯基内积等于零:
α
μ
U
μ
=
1
2
d
(
U
μ
U
μ
)
d
τ
=
0
{\displaystyle \alpha _{\mu }U^{\mu }={\frac {1}{2)){\frac {\mathrm {d} (U_{\mu }U^{\mu })}{\mathrm {d} \tau ))=0}
。对于每一条世界线,这计算结果都成立。
注意到在瞬间共动参考系里,
U
μ
{\displaystyle U_{\mu ))
只有时间分量不等于零,所以,
α
μ
{\displaystyle \alpha ^{\mu ))
为的时间分量为零:
α
μ
=
(
0
,
γ
2
a
)
M
C
R
F
{\displaystyle \alpha ^{\mu }=\left(0,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)_{MCRF))
。一个静止质量 为
m
{\displaystyle m}
的粒子的四维动量
P
μ
{\displaystyle P^{\mu ))
定义为
P
μ
=
d
e
f
m
U
μ
=
(
γ
m
c
,
γ
m
u
)
{\displaystyle P^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ mU^{\mu }=\left(\gamma mc,\,\gamma m\mathbf {u} \right)}
。经典动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
定义为
p
=
d
e
f
m
r
e
l
u
=
γ
m
u
{\displaystyle \mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=))\ m_{rel}\mathbf {u} =\gamma m\mathbf {u} }
;其中,
m
r
e
l
{\displaystyle m_{rel))
是相对论性质量。
所以,
P
μ
{\displaystyle P^{\mu ))
的空间部分等于经典动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
:
(
P
1
,
P
2
,
P
3
)
=
p
{\displaystyle \left(P^{1},\,P^{2},\,P^{3}\right)=\mathbf {p} }
。作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数:
F
μ
=
d
e
f
d
P
μ
d
τ
{\displaystyle F^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ {\frac {\mathrm {d} P^{\mu )){\mathrm {d} \tau ))}
。提出四维动量内的静止质量因子,即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度:
F
μ
=
m
d
U
μ
d
τ
=
m
α
μ
{\displaystyle F^{\mu }=m{\frac {\mathrm {d} U^{\mu )){\mathrm {d} \tau ))=m\alpha ^{\mu ))
。因此,四维力可以表示为
F
μ
=
m
(
γ
4
(
u
⋅
a
)
/
c
,
γ
2
a
+
γ
4
(
u
⋅
a
)
u
/
c
2
)
{\displaystyle F^{\mu }=m\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)}
。经典力
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
定义为
f
=
d
e
f
d
p
d
t
{\displaystyle \mathbf {f} \ {\stackrel {def}{=))\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t))}
。所以,
F
μ
{\displaystyle F^{\mu ))
的空间部分等于
γ
f
{\displaystyle \gamma \mathbf {f} }
:
(
F
1
,
F
2
,
F
3
)
=
γ
f
{\displaystyle \left(F^{1},\,F^{2},\,F^{3}\right)=\gamma \mathbf {f} }
。在四维矢量的表述里,存在着许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系,可以显示出这表述的功能与精致。
假设,在微小时间间隔
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} t}
,一个运动于时空的粒子,感受到作用力
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
的施加,而这粒子的微小位移为
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} }
。那么,作用力
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
对于这粒子所做的微小机械功
d
W
{\displaystyle \mathrm {d} W}
为
d
W
=
f
⋅
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} }
。因此,这粒子的动能 的改变
d
K
{\displaystyle \mathrm {d} K}
为
d
K
=
d
W
=
f
⋅
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} K=\mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} }
。粒子的动能
K
{\displaystyle K}
对于时间的导数为
d
K
d
t
=
f
⋅
d
x
d
t
=
f
⋅
u
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t))=\mathbf {f} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t))=\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }
。将前面经典力和经典速度的公式带入,可以得到
d
K
d
t
=
m
γ
3
(
u
⋅
a
)
=
m
c
2
d
γ
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t))=m\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )=mc^{2}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t))}
。这公式的反微分为
K
=
γ
m
c
2
+
K
0
{\displaystyle K=\gamma mc^{2}+K_{0))
。当粒子静止时,动能等于零。所以,
K
=
γ
m
c
2
−
m
c
2
{\displaystyle K=\gamma mc^{2}-mc^{2))
。这公式的右手边第二个项目就是静止能量
E
0
=
d
e
f
m
c
2
{\displaystyle E_{0}\ {\stackrel {def}{=))\ mc^{2))
。动能
K
{\displaystyle K}
加上静止能量
E
0
{\displaystyle E_{0))
等于总能量
E
{\displaystyle E}
:
E
=
γ
m
c
2
{\displaystyle E=\gamma mc^{2))
。再加简化,以相对论性质量
m
r
e
l
{\displaystyle m_{rel))
表示:
E
=
m
r
e
l
c
2
{\displaystyle E=m_{rel}c^{2))
。这方程称为质能方程 。
使用质能方程
E
=
m
r
e
l
c
2
=
γ
m
c
2
{\displaystyle E=m_{rel}c^{2}=\gamma mc^{2))
,四维动量可以表示为
P
μ
=
(
E
c
,
p
)
{\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c)),\,\mathbf {p} \right)}
。四维动量与自己的内积为
P
μ
P
μ
=
E
2
c
2
−
(
p
)
2
{\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }={\frac {E^{2)){c^{2))}-(p)^{2))
。改以四维速度来计算内积:
P
μ
P
μ
=
m
2
U
μ
U
μ
=
m
2
c
2
{\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }=m^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m^{2}c^{2))
。所以,能量-动量关系式为
E
2
=
(
p
c
)
2
+
m
2
c
4
{\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+m^{2}c^{4))
。在电磁学 里,四维电流密度
J
μ
{\displaystyle J^{\mu ))
是一个四维矢量,定义为
J
μ
=
d
e
f
(
ρ
c
,
j
)
{\displaystyle J^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ (\rho c,\,\mathbf {j} )}
;其中,
ρ
{\displaystyle \rho }
是电荷密度 ,
j
{\displaystyle \mathbf {j} }
是三维电流密度 。
在瞬间共动参考系所观测到的电荷密度,称为固有电荷密度
ρ
0
=
ρ
/
γ
{\displaystyle \rho _{0}=\rho /\gamma }
。四维电流密度与四维速度的关系为
J
μ
=
ρ
0
U
μ
{\displaystyle J^{\mu }=\rho _{0}U^{\mu ))
。电荷守恒定律 能以三维矢量表示为
∂
ρ
∂
t
+
∇
⋅
j
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {j} =0}
。这定律也能以四维电流密度表示为
∂
J
μ
∂
x
μ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial J^{\mu )){\partial x^{\mu ))}=0}
。从这方程,可以推论四维电流密度的四维散度 等于零。
电磁四维势是由电势
ϕ
{\displaystyle \phi \,}
与矢量势
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
共同形成的,定义为
A
μ
=
d
e
f
(
ϕ
/
c
,
A
)
{\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )}
。黎曼-索末菲方程 表示电磁四维势与四维电流密度之间的关系[2] :
◻
A
μ
=
μ
0
J
μ
{\displaystyle \Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu ))
;其中,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0))
是磁常数 ,
◻
=
∂
2
=
∂
α
∂
α
=
(
1
c
2
∂
2
∂
t
2
−
∇
2
)
{\displaystyle \Box =\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c^{2))}\ {\frac {\partial ^{2)){\partial t^{2))}-\nabla ^{2}\right)}
是达朗贝尔算符 ,又称为四维拉普拉斯算符 。
一个平面电磁波 的四维频率
ν
μ
{\displaystyle {\nu }^{\mu ))
定义为
ν
α
=
d
e
f
(
f
,
f
n
)
{\displaystyle {\nu }^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=))\ (f,\,f\mathbf {n} )}
;其中,
f
{\displaystyle f}
是电磁波的频率 ,
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
是朝着电磁波传播方向的单位矢量。
四维频率与自己的内积永远等于零:
ν
α
ν
α
=
(
f
)
2
(
1
−
n
2
)
=
0
{\displaystyle {\nu }^{\alpha }{\nu }_{\alpha }=(f)^{2}(1-n^{2})=0}
。一个近单色光 的波包 的波动性质可以用四维波矢量
K
α
{\displaystyle {K}^{\alpha ))
来描述:
K
α
=
d
e
f
(
2
π
f
c
,
k
)
{\displaystyle {K}^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=))\ \left({\frac {2\pi f}{c)),\,\mathbf {k} \right)}
。其中,
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
是三维波矢量 。
四维波矢量与四维频率之间的关系为
K
α
=
2
π
ν
α
c
{\displaystyle {K}^{\alpha }={\frac {2\pi {\nu }^{\alpha )){c))}
。基础概念 现象 时空 运动学 动力学 历史背景 科学家 相关理论方法