元数学（英语：Metamathematics），又译为超数学，使用数学技术来研究数学本身的一门学科。一般来说，元数学是一种将数学作为人类意识和文化客体的科学思维或知识。更进一步来说，元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学。“数学的数学”是于19世纪初由通常的数学分离出来的，它最初研究的对象是在所谓的数学危机。将二者混为一谈会导致一些矛盾，典型例子有理查德悖论。

比如说，元数学的主题之一就是：分析某些数学要素是否在任意的数学系统中都是可证实或者证伪的。

许多关于数学基础与数学哲学的论说都涉及元数学的概念，它们往往不能被当作我们通常所说的“问题”来处理。元数学的基本假设是：数学的内容可以由一个形式系统获得，比如一个序理论或一个公理化集合论。

元数学与数理逻辑休戚相关，因而这两者的发展也大同小异。元数学的发端大概要追溯到弗雷格的工作：《概念文字》。大卫·希尔伯特首先引进了带有正则性的“元数学”（metamathematics with regularity）这一说法（见希尔伯特计划）。这也就是现在所说的证明论。另一个重要的现代分支是模型论。这一领域的其他重要人物有：伯特兰·罗素，斯科尔姆（Thoralf Skolem），普斯特（Emil Post），邱奇，克莱尼，蒯因，贝纳瑟拉夫（Paul Benacerraf），普特南，柴汀（Gregory Chaitin），以及最著名的塔斯基和哥德尔。特别地，哥德尔证明了：给定任意有限多条皮亚诺算术的公理，都存在一些正确的命题，无法用所给公理来证明，即所谓的哥德尔不完备定理。某种意义上来说，这一结果是迄今为止元数学与数学哲学的最高成就。

参考资料

• Douglas Hofstadter, 1980. 《哥德尔、埃舍尔、巴赫》. Vintage Books. Aimed at laypeople.
• Stephen Cole Kleene, 1952. 《Introduction to Metamathematics》. North Holland. Aimed at mathematicians.

查 论 编 主要的数学领域 历史 纲要（英语：Outline of mathematics） 列表（英语：Lists of mathematics topics） 符号表 数学基础 范畴论 集合论 数理逻辑 数学哲学 代数 抽象 交换 群论 初等代数 线性代数 多重线性代数 泛代数 数学分析 微积分 实变函数 复变函数 微分方程 泛函分析 调和分析 傅立叶分析 几何分析 离散数学 组合数学 图论 序理论 博弈论 几何学 代数几何 解析几何 微分几何 离散几何学 欧几里得几何 非欧几里得几何 有限几何学 数论 算术 代数数论 解析数论 几何数论 算术几何 丢番图几何 拓扑学 点集拓扑 代数拓扑 微分拓扑 几何拓扑 统计学 测度与概率 数理统计学 数据科学 统计推断 回归分析 统计学习理论 机器学习 人工智能 数据结构与算法 计算数学 计算机科学 计算理论 数值分析 最优化 计算机代数 应用数学 控制论 信息论 计算化学 数理生物学 数理经济学 计量经济学 数理金融学 数学心理学 数学物理学 生物统计学 其它 娱乐数学 数学与艺术（英语：Mathematics and art） 数学教育 注释 数学的领域也可根据“MSC分类标准”或“中国学科分类国家标准”进行分类。 分类 主题 共享资源 专题

规范控制数据库：各地 德国 以色列 日本