在统计学中，一个概率样本的置信区间（英语：confidence interval，CI），是对产生这个样本的总体的参数分布（parametric distribution）中的某一个未知参数值，以区间形式给出的估计。相对于点估计（point estimation）用一个样本统计量来估计参数值，置信区间还蕴含了估计的精确度的信息。在现代机器学习中越来越常用的置信集合（confidence set）概念是置信区间在多维分析的推广^[1]。

置信区间在频率学派中间使用，其在贝叶斯统计中的对应概念是可信区间（英语：credible interval）（credible interval）。两者建立在不同的概念基础上的，贝叶斯统计将分布的位置参数视为随机变量，并对给定观测到的数据之后未知参数的后验分布进行描述，故无论对随机样本还是已观测数据，构造出来的可信区间，其可信水平都是一个合法的概率^[2]；而置信区间的置信水平，只在考虑随机样本时可以被理解为一个概率。

定义

对随机样本的定义

定义置信区间最清晰的方式是从一个随机样本出发。考虑一个一维随机变量${\displaystyle {\cal {X))}$服从分布${\displaystyle {\cal {F))}$，又假设${\displaystyle \theta }$是${\displaystyle {\cal {F))}$的参数之一。假设我们的数据采集计划将要独立地抽样${\displaystyle n}$次，得到一个随机样本${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\))$，注意这里所有的${\displaystyle X_{i))$都是随机的，我们是在讨论一个尚未被观测的数据集。如果存在统计量（统计量定义为样本${\displaystyle X=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\))$的一个函数，且不得依赖于任何未知参数）${\displaystyle u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})}$满足${\displaystyle u(X_{1},\ldots ,X_{n})<v(X_{1},\ldots ,X_{n})}$使得：

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\theta \in \left(u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})\right)\right)=1-\alpha }$

则称${\displaystyle \left(u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})\right)}$为一个用于估计参数${\displaystyle \theta }$的${\displaystyle 1-\alpha }$置信区间，其中的，${\displaystyle 1-\alpha }$称为置信水平，${\displaystyle \alpha }$在假设检验中也称为显著水平。

对观测到的数据的定义

接续随机样本版本的定义，现在，对于随机变量${\displaystyle {\cal {X))}$的一个已经观测到的样本${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n}\))$，注意这里用小写x表记的${\displaystyle x_{i))$都是已经观测到的数字，没有随机性了，定义基于数据的${\displaystyle 1-\alpha }$置信区间为：

${\displaystyle \left(u(x_{1},\ldots ,x_{n}),v(x_{1},\ldots ,x_{n})\right)}$

注意，置信区间可以是单尾或者双尾的，单尾的置信区间中设定${\displaystyle u=-\infty }$或者${\displaystyle v=+\infty }$，具体前者还是后者取决于所构造的置信区间的方向。

初学者常犯一个概念性错误，是将基于观测到的数据所同样构造的置信区间的置信水平，误认为是它包含真实未知参数的真实值的概率。正确的理解是：置信水平只有在描述这个同样构造置信区间的过程（或称方法）的意义下才能被视为一个概率。一个基于已经观测到的数据所构造出来的置信区间，其两个端点已经不再具有随机性，因此，类似的构造的间隔将会包含真正的值的比例在所有值中，其包含未知参数的真实值的概率是0或者1，但我们不能知道是前者还是后者^[3]。

例子

例1：正态分布，已知总体方差${\displaystyle \sigma ^{2))$

${\displaystyle 1-\alpha }$水平的正态置信区间为：

${\displaystyle \left({\bar {x))-z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n))},{\bar {x))+z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n))}\right)}$ (双尾)

${\displaystyle \left(-\infty ,{\bar {x))+z_{\alpha }{\frac {\sigma }{\sqrt {n))}\right)}$ (单尾)

${\displaystyle \left({\bar {x))-z_{\alpha }{\frac {\sigma }{\sqrt {n))},+\infty \right)}$ (单尾)

以下为方便起见，只列出双尾置信区间的例子，且区间中用"${\displaystyle \pm }$"进行简记：

例2：正态分布，未知总体方差${\displaystyle \sigma ^{2))$

${\displaystyle 1-\alpha }$水平的双尾正态置信区间为：

${\displaystyle \left({\bar {x))\pm t_{n-1;\alpha /2}{\frac {s}{\sqrt {n))}\right)}$

例3：两个独立正态样本

设有两个独立正态样本${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，样本大小为${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$，估计总体均值之差${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2))$，假设总体方差未知但相等：${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2))$(如果未知且不等就要应用Welch公式（英语：Welch's t-test）来确定t分布的自由度) ${\displaystyle 1-\alpha }$水平的双尾正态置信区间为：

${\displaystyle \left({\bar {x))-{\bar {y))\pm t_{m+n-2;\alpha /2}\cdot s_{p}\cdot {\sqrt ((\frac {1}{m))+{\frac {1}{n))))\right)}$，其中${\displaystyle s_{p}={\sqrt {\frac {(m-1)s_{x}^{2}+(n-1)s_{y}^{2)){m+n-2))))$且${\displaystyle s_{x},s_{y))$分别表示${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的样本标准差。

常见误解

置信区间及置信水平常被误解，出版的研究也显示出既使是专业的科学家也常做出错误的诠释。^{[4][5][6][7][8][9]}

• 以95%的置信区间来说，建构出一个置信区间，不代表分布的参数有95%的概率会落在该置信区间内（也就是说该区间有95%的概率涵盖了分布参数）。 ^[10]依照严格的频率学派诠释，一旦置信区间被建构完全，此区间不是涵盖了参数就是没涵盖参数，已经没有概率可言。95%概率指的是建构置信区间步骤的可靠性，不是针对一个特定的区间。^[11]内曼本人（置信区间的原始提倡者）在他的原始论文提出此点：^[12]

  “在上面的叙述中可以注意到，概率是指统计学家在未来关心的估计问题。事实上，我已多次说明，正确结果的频率会趋向于α。考虑到一个样本已被抽取，[特定端点]也已被计算完成。我们能说在这个特定的例子里真值[落到端点中]的概率等于α吗？答案明显是否定的。参数是未知的常数，无法做出对其值的概率叙述……”

Deborah Mayo针对此点进一步说道：^[13]

“无论如何必须强调，在看到[资料的]数值后，Neyman–Pearson理论从不允许做出以下结论，特定产生的置信区间涵盖了真值的概率或信心为(1 − α)100%。Seidenfeld的评论似乎源于一种（并非不寻常的）期望，Neyman–Pearson置信区间能提供他们无法合理提供的，也就是未知参数落入特定区间的概率大小、信心高低或支持程度的测度。随着Savage (1962)之后，参数落入特定区间的概率可能是指最终精密度的测度。最终精密度的测度令人向往而且置信区间又常被(错误地)解释成可提供此测度，然而此解释是不被保证的。无可否认的，‘置信’二字助长了此误解。”

• 95%置信区间不代表有95%的样本资料落在此置信区间。
• 置信区间不是样本参数的可能值的确定范围，虽然它常被启发为可能值的范围。
• 从一个实验中算出的一个95%置信区间，不代表从不同实验得到的样本参数有95%落在该区间中 ^[8]

构造法

一般来说，置信区间的构造需要先找到一个枢轴变量（pivotal quantity，或称pivot），其表达式依赖于样本以及待估计的未知参数(但不能依赖于总体的其它未知参数)，其分布不依赖于任何未知参数。

下面以上述例2为例，说明如何利用枢轴变量构造置信区间。对于一个正态分布的随机样本${\displaystyle {X_{1},\ldots ,X_{n))}$，可以证明(此证明对初学者并不容易)如下统计量互相独立：

${\displaystyle {\bar {X))={\frac {1}{n))\sum _{i=1}^{n}X_{i))$ 和 ${\displaystyle S^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X))\right)^{2)){n-1))}$

它们的分布是：

${\displaystyle {\frac ((\bar {X))-\mu }{\sigma /{\sqrt {n))))\sim N(0,1)}$ 和 ${\displaystyle (n-1){\frac {S^{2)){\sigma ^{2))}\sim \chi _{n-1}^{2))$

所以根据t分布的定义，有

${\displaystyle t={\frac ((\bar {X))-\mu }{S/{\sqrt {n))))\sim t_{n-1))$

于是反解如下等式左边括号中的不等式

${\displaystyle \mathbb {P} \left(-t_{n-1;\alpha /2}<t={\frac ((\bar {X))-\mu }{S{\sqrt {n))))<t_{n-1;\alpha /2}\right)=1-\alpha }$

就得到了例2中双尾置信区间的表达式。

与参数检验的联系

有时，置信区间可以用来进行参数检验。例如在上面的例1中构造的双尾${\displaystyle 1-\alpha }$水平置信区间，可以用来检验具有相应的显著水平为${\displaystyle \alpha }$的双尾备择假设，具体地说是如下检验： 正态分布总体，知道总体方差${\displaystyle \sigma ^{2))$，在${\displaystyle \alpha }$显著水平下检验：

${\displaystyle H_{0}:\mu =\mu _{0))$ vs ${\displaystyle H_{1}:\mu \neq \mu _{0))$

检验方法是：当（且仅当）相应的${\displaystyle 1-\alpha }$水平置信区间不包含${\displaystyle \mu _{0))$时拒绝零假设${\displaystyle H_{0))$

例1中构造的双尾${\displaystyle 1-\alpha }$水平置信区间也可以用来检验如下两个显著水平为${\displaystyle \alpha /2}$的单尾对立假设：

${\displaystyle H_{0}:\mu \leq \mu _{0))$ vs ${\displaystyle H_{1}:\mu >\mu _{0))$

和

${\displaystyle H_{0}:\mu \geq \mu _{0))$ vs ${\displaystyle H_{1}:\mu <\mu _{0))$

检验方法是完全类似的，比如对于上述第一个单尾检验${\displaystyle H_{1}:\mu >\mu _{0))$，当且仅当双尾置信区间的左端点大于${\displaystyle \mu _{0))$时拒绝零假设。

参考文献

参考书目

查 论 编 统计学 描述统计学 连续概率 集中趋势 平均数 平方 算术 几何 调和 算术-几何 几何-调和 希罗／平均数不等式 中位数 众数 离散程度 全距 变异系数 百分位数 四分位距 四分位数 标准差 方差 平均差 标准分数 切比雪夫不等式 基尼系数 分布形态（英语：Shape of the distribution） 中心极限定理 矩 偏态 峰态 离散概率 次数（英语：Count data） · 列联表（英语：Contingency table） 推论统计学 和假设检验 推论统计学 置信区间 区间估计（英语：Interval estimation） 显著性差异 元分析 贝叶斯推断 实验设计 总体 抽样 重抽样 刀切法 自助法 交叉验证 重复（英语：Replication (statistics)） 阻碍 灵敏度和特异度 区集（英语：Blocking (statistics)） 缺失数据 样本量（英语：Sample size） 标准误 零假设 备择假设 第一类错误与第二类错误 统计功效 效应值 常规估计 贝叶斯推断 区间估计（英语：Interval estimation） 最大似然估计 最小距离估计（英语：Minimum distance estimation） 矩估计 最大间距 假设检验 Z检验 学生t检验 F检验 卡方检验 Wald检验（英语：Wald test） 曼-惠特尼检验（英语：Mann–Whitney U test） 秩和检验 生存分析 生存函数 乘积极限估计量 对数秩和检验 失效率 危险比例模式 相关及 回归分析 相关性 干扰因素 皮尔逊积矩相关系数 等级相关（英语：Rank correlation） (斯皮尔曼等级相关系数 肯德等级相关系数（英语：Kendall tau rank correlation coefficient）) 自由度 误差和残差 线性回归 线性模型（英语：Linear model） 一般线性模型 广义线性模型 简单线性回归 普通最小二乘法 贝叶斯回归（英语：Bayesian linear regression） 方差分析 协方差分析（英语：Analysis of covariance） 非线性回归 非参数回归模型（英语：Nonparametric regression） 半参数回归模型（英语：Semiparametric regression） 逻辑斯谛回归 统计图形 饼图 条形图 双标图 箱形图 管制图 森林图（英语：Forest plot） 直方图 分位图 趋势图 散点图 茎叶图 雷达图（英语：Radar chart） 示意地图 其他 统计类型（维基数据所列：Q47103999） 回应过程效度 统计误用 分类 主题 共享资源 专题