Усечённый кубооктаэдр
Тип	Полуправильный многогранник
Грань	квадрат, шестиугольник, восьмиугольник
Граней	${\displaystyle 26}$
Рёбер	${\displaystyle 72}$
Вершин	${\displaystyle 48}$
Граней при вершине	${\displaystyle 3}$
Телесный угол	4-6:arccos(-sqrt(6)/3)=144°44’08" 4-8:arccos(-sqrt(2)/3)=135° 6-8:arccos(-sqrt(3)/3)=125°15’51"
Точечная группа симметрии	Октаэдрическая, [4,3]+, (432), порядок 24
Двойственный многогранник	Гекзакисоктаэдр
Развёртка
С раскраской граней	Вершинная фигура

Усечённый кубооктаэдр^[1][2], усечённый кубоктаэдр^[3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 12 квадратными гранями, 8 гранями в виде правильного шестиугольника, 6 гранями в виде правильного восьмиугольника, 48 вершинами и 72 рёбрами. Поскольку каждая из граней многогранника имеет центральную симметрию (что эквивалентно повороту на 180°), усечённый кубооктаэдр является зоноэдром.

Этот многогранник имеет несколько названий:

• Усечённый кубооктаэдр (Иоганн Кеплер)
• Ромбоусечённый кубооктаэдр (Магнус Веннинджер^[4][5])
• Большой ромбокубооктаэдр (Роберт Вильямс^{[англ.] [6]})
• Большой ромбокубооктаэдр (Питер Кромвель ^[7])
• Общеусечённый куб (omnitruncated cube) или скос-усечённый куб (cantitruncated cube) (Норман Джонсон^[англ.])

Название усечённый кубооктаэдр, данное первоначально Иоганном Кеплером, несколько вводит в заблуждение. Усечение кубооктаэдра путём отсечения углов (вершин) не позволяет получить эту однородную фигуру — некоторые грани будут прямоугольниками. Однако полученная фигура топологически эквивалентна усечённому кубооктаэдру и всегда может быть деформирована до состояния, когда грани станут правильными.

Альтернативное название — большой ромбокубооктадр — ссылается на тот факт, что 12 квадратных граней лежат в тех же плоскостях, что и 12 граней ромбододекаэдра, который двойственен кубооктаэдру. Ср. малый ромбокубооктаэдр.

Также существует невыпуклый однородный многогранник^[англ.] с тем же именем — невыпуклый большой ромбокубооктаэдр^[англ.].

Декартовы координаты вершин усечённого кубооктаэдра, имеющего ребро длины 2 и имеющего центр в начале координат, являются перестановками чисел:

(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))

Площадь A и объём V усечённого кубооктаэдра с ребром длины a равны:

${\displaystyle A=12\left(2+{\sqrt {2))+{\sqrt {3))\right)a^{2}\approx 61.7551724a^{2))$

${\displaystyle V=\left(22+14{\sqrt {2))\right)a^{3}\approx 41.7989899a^{3}.}$

Усечённый кубооктаэдр можно препарировать (вырезать части), превратив его в центральный ромбокубооктаэдр с 6 квадратными куполами^[англ.] над первичными квадратными гранями, 8 треугольными куполами^[англ.] над треугольными гранями и 12 кубами над вторичными квадратными гранями.

Препарированный усечённый кубооктаэдр может дать тороиды Стюарта^[англ.] рода 5, 7 или 11, если удалить центральный ромбокубооктаэдр и либо квадратные купола, либо треугольные купола, или 12 кубов соответственно. Можно построить много других тороидов с меньшей степенью симметрии путём удаления подмножества этих компонент препарации. Например, удаление половины треугольных куполов создаёт тороид рода 3, который (при правильном выборе удаляемых куполов) имеет тетраэдральную симметрию^[8][9].

Тороиды Стюарта

Род 3	Род 5	Род 7	Род 11

Существует только одна однородная раскраска граней этого многогранника, по одному цвету на каждый тип грани.

Существует 2-однородная раскраска тетраэдральной симметрией с раскраской шестиугольников в два цвета.

Усечённый кубооктаэдр имеет две специальные ортогональные проекции в A₂ и B₂ плоскости Коксетера с [6] и [8] проективными симметриями, и множество [2] симметрий можно построить, исходя из различных плоскостей проекции.

Ортогональные проекции

Центрированы относительно	Вершины	Ребра 4-6	Ребра 4-8	Ребра 6-8	Нормали к грани 4-6
Изображение
Проективная симметрия	[2]+	[2]	[2]	[2]	[2]
Центрированы относительно	Нормали к квадрату	Нормали к восьмиграннику	Квадратной грани	Шестиугольной грани	Восьмиугольной грани
Изображение
Проективная симметрия	[2]	[2]	[2]	[6]	[8]

Усечённый кубооктаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроектировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, она сохраняет углы, но не сохраняет длины и площади. Прямые линии на сфере проецируются в круговые дуги на плоскости.

	квадрат-центрированная	шестиугольник-центрированная	восьмиугольник-центрированная
Ортогональная проекция	Стереографические проекции

Усечённый кубооктаэдр входит в семейство однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдральные многогранники

Симметрия: [4,3], (*432)[англ.]							[4,3]+, (432)	[3+,4], (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	tr{4,3}	sr{4,3}	s{3,4}
Двойственные многогранники
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V35

Этот многогранник можно считать членом последовательности однородных вершинных фигур со схемой (4.6.2p) и диаграммой Коксетера — Дынкина . Для p < 6 члены последовательности являются общеусечёнными^[англ.] многогранниками (зоноэдрами), показанными ниже как сферические мозаики. Для p > 6 они являются мозаиками на гиперболической плоскости, начиная с усечённой трисемиугольной мозаики^[англ.].

*n32 мутации по симметрии полностью усечённых мозаик: 4.6.2n

Симметрия *n32[англ.] n,3[англ.]	Сферическая				Евклидова	Компактная гиперболическая		Паракомп.	Некомпактная гиперболическая
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
Фигуры
Конфигурация	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12[англ.]	4.6.14[англ.]	4.6.16[англ.]	4.6.∞[англ.]	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Двойственная
Конфигурация грани	V4.6.4[англ.]	V4.6.6	V4.6.8[англ.]	V4.6.10	V4.6.12[англ.]	V4.6.14[англ.]	V4.6.16[англ.]	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

*n42 симметрии общеусечённых мозаик: 4.8.2n

Симметрия *n42 [n,4]	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболическая				Паракомп.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]…	*∞42 [∞,4]
Общеусечённая фигура	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Общеусечённые двойственные	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Граф усечённого кубооктаэдра
Вершин	48
Рёбер	72
Автоморфизмы	48
Хроматическое число	2
Свойства	кубический гамильтонов регулярный, нуль-симметричный[англ.]
Медиафайлы на Викискладе

В теории графов граф усечённого кубооктаэдра (или граф большого ромбокубооктаэдра) — это граф вершин и рёбер^[англ.] усечённого кубооктаэдра. Он имеет 48 вершин и 72 ребра, нульсимметричен^[англ.] и является кубическим архимедовым графом ^[10].

• Weisstein, Eric W. Great rhombicuboctahedral graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• 3D convex uniform polyhedra
• Editable printable net of a truncated cuboctahedron with interactive 3D view
• The Uniform Polyhedra
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
• great Rhombicuboctahedron: paper strips for plaiting

Многогранники
Правильные	Трёхмерные (Платоновы тела) Правильный тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Четырёхмерные Пятиячейник Тессеракт Шестнадцатиячейник Двадцатичетырёхъячейник Стодвадцатиячейник Шестисотячейник Большей размерности (указана в скобках) Правильный симплекс Гиперкуб (Пентеракт (5) Гексеракт (6) Гептеракт (7) Октеракт (8) Эннеракт (9) Декеракт (10)) Гипероктаэдр
Правильные невыпуклые	Звёздчатый додекаэдр Звёздчатый икосододекаэдр Звёздчатый икосаэдр Звёздчатый многогранник Звёздчатый октаэдр
Трёхмерные по количеству граней (указано в скобках)	Моноэдр (1)[англ.] Диэдр (2) Триэдр (3) Тетраэдр (4) Пентаэдр (5) Гексаэдр (6) Гептаэдр (7)[англ.] Октаэдр (8) Эннеаэдр (9) Декаэдр (10) Эндекаэдр (11)[англ.] Додекаэдр (12) Тридекаэдр (13) Тетрадекаэдр (14)[англ.] Пентадекаэдр (15)[англ.] Гексадекаэдр (16) Гептадекаэдр (17)[англ.] Октадекаэдр (18)[англ.] Эннеадекаэдр (19) Икосаэдр (20) Икосотетраэдр (24)[кит.] Триаконтаэдр (30) Гексаконтаэдр (60)[англ.] Эннеаконтаэдр (90)[англ.] Гектотриадиоэдр (132)[англ.] Апейроэдр (∞)[англ.] Осоэдр
Выпуклые	Архимедовы тела Кубооктаэдр Икосододекаэдр Усечённый тетраэдр Усечённый октаэдр Усечённый икосаэдр Усечённый куб Усечённый додекаэдр Ромбокубооктаэдр Ромбоикосододекаэдр Усечённый кубооктаэдр Ромбоусечённый икосододекаэдр Курносый куб Курносый додекаэдр Каталановы тела Ромбододекаэдр Ромботриаконтаэдр Триакистетраэдр Тетракисгексаэдр Пентакисдодекаэдр Триакисоктаэдр Триакисикосаэдр Дельтоидальный икоситетраэдр Дельтоидальный гексеконтаэдр Гекзакисоктаэдр Гекзакисикосаэдр Пентагональный икоситетраэдр Пентагональный гексеконтаэдр Призмы Треугольная призма Четырёхугольная призма Пятиугольная призма Шестиугольная призма Семиугольная призма[англ.] Восьмиугольная призма Девятиугольная призма[англ.] Десятиугольная призма Одиннадцатиугольная призма[англ.] Двенадцатиугольная призма[англ.] Многогранники Джонсона Квадратная пирамида Пятиугольная пирамида Трёхскатный купол Четырёхскатный купол Пятискатный купол Пятискатная ротонда Удлинённая треугольная пирамида Удлинённая четырёхугольная пирамида Удлинённая пятиугольная пирамида Скрученно удлинённая четырёхугольная пирамида Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида Треугольная бипирамида Пятиугольная бипирамида Удлинённая треугольная бипирамида Удлинённая четырёхугольная бипирамида Удлинённая пятиугольная бипирамида Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида Удлинённый трёхскатный купол Удлинённый четырёхскатный купол Удлинённый пятискатный купол Удлинённая пятискатная ротонда Скрученно удлинённый трёхскатный купол Скрученно удлинённый четырёхскатный купол Скрученно удлинённый пятискатный купол‎ Скрученно удлинённая пятискатная ротонда Гиробифастигиум Трёхскатный прямой бикупол Четырёхскатный прямой бикупол Четырёхскатный повёрнутый бикупол Пятискатный прямой бикупол Пятискатный повёрнутый бикупол Пятискатная прямая куполоротонда Пятискатная повёрнутая куполоротонда Пятискатная прямая биротонда Удлинённый трёхскатный прямой бикупол Удлинённый трёхскатный повёрнутый бикупол Удлинённый квадратный гиробикупол Удлинённый пятискатный прямой бикупол Удлинённый пятискатный повёрнутый бикупол Удлинённая пятискатная прямая куполоротонда Удлинённая пятискатная повёрнутая куполоротонда Удлинённая пятискатная прямая биротонда Удлинённая пятискатная повёрнутая биротонда Скрученно удлинённый трёхскатный бикупол Скрученно удлинённый четырёхскатный бикупол Скрученно удлинённый пятискатный бикупол Скрученно удлинённая пятискатная куполоротонда Скрученно удлинённая пятискатная биротонда Наращённая треугольная призма Дважды наращённая треугольная призма Трижды наращённая треугольная призма Наращённая пятиугольная призма Дважды наращённая пятиугольная призма Наращённая шестиугольная призма Дважды противоположно наращённая шестиугольная призма Дважды косо наращённая шестиугольная призма Трижды наращённая шестиугольная призма Наращённый додекаэдр Дважды противоположно наращённый додекаэдр Дважды косо наращённый додекаэдр Трижды наращённый додекаэдр Дважды косо отсечённый икосаэдр Трижды отсечённый икосаэдр Наращённый трижды отсечённый икосаэдр Наращённый усечённый тетраэдр Наращённый усечённый куб Дважды наращённый усечённый куб Наращённый усечённый додекаэдр Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр Дважды косо наращённый усечённый додекаэдр Трижды наращённый усечённый додекаэдр Скрученный ромбоикосододекаэдр Дважды противоположно скрученный ромбоикосододекаэдр Дважды косо скрученный ромбоикосододекаэдр Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр Отсечённый ромбоикосододекаэдр Противоположно скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр Косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр Дважды косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр Дважды противоположно отсечённый ромбоикосододекаэдр Дважды косо отсечённый ромбоикосододекаэдр Скрученный дважды отсечённый ромбоикосододекаэдр Трижды отсечённый ромбоикосододекаэдр Плосконосый двуклиноид Плосконосая квадратная антипризма Клинокорона Наращённая клинокорона Большая клинокорона Уплощённая большая клинокорона Опоясанный двуклинник Двойная серпоротонда Уплощённая треугольная клиноротонда Пирамида Бипирамида Антипризма Зоноэдр Параллелепипед Ромбоэдр Призматоид Тетраэдр Усечённая пирамида Пентагондодекаэдр Параллелоэдр Купол Ротонда Биротонда Дельтаэдр Трапецеромбический додекаэдр Додекаэдр Билинского Циклический многогранник
Формулы, теоремы, теории	Теорема Александрова о развёртке Теорема Бликера Теорема Коши о многогранниках Теорема Линделёфа о многограннике Теорема Минковского о многогранниках Теорема Сабитова Теорема Эйлера для многогранников Формула Шлефли
Прочее	Символ Шлефли Нотация Конвея Многогранник Силаши Многогранник Часара Многогранник Шёнхардта Изгибаемый многогранник (Многогранник Штеффена) Многогранник Ханнера Холиэдр Перестановочный многогранник Ортоцентрический тетраэдр Равногранный тетраэдр Прямоугольный параллелепипед Группа многогранника Двенадцатигранники Телесный угол Единичный куб Развёртка Паркет Скутоид