Наращённый усечённый додекаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	42 грани 105 рёбер 65 вершин Χ = 2
Грани	25 треугольников 5 квадратов 1 пятиугольник 11 десятиугольников
Конфигурация вершины	4x5+3x10(3.102) 5(3.4.5.4) 10(3.4.3.10)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J68, М6+М12
Группа симметрии	C5v

Наращённый усечённый додека́эдр^[1] — один из многогранников Джонсона (J₆₈, по Залгаллеру — М₆+М₁₂).

Составлен из 42 граней: 25 правильных треугольников, 5 квадратов, 1 правильного пятиугольника и 11 правильных десятиугольников. Среди десятиугольных граней 6 окружены пятью десятиугольными и пятью треугольными, остальные 5 — четырьмя десятиугольными и шестью треугольными; пятиугольная грань окружена пятью квадратными; каждая квадратная грань окружена пятиугольной и тремя треугольными; среди треугольных 15 граней окружены тремя десятиугольными, 5 граней — двумя десятиугольными и квадратной, остальные 5 — десятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 105 рёбер одинаковой длины. 25 рёбер располагаются между двумя десятиугольными гранями, 60 рёбер — между десятиугольной и треугольной, 5 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 15 — между квадратной и треугольной.

У наращённого усечённого додекаэдра 65 вершин. В 50 вершинах сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная; в 10 вершинах сходятся десятиугольная, квадратная и две треугольных грани; в 5 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Наращённый усечённый додекаэдр можно получить из двух многогранников — усечённого додекаэдра и пятискатного купола (J₅), — приложив их друг к другу десятиугольными гранями.

Если наращённый усечённый додекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {1}{4))\left(20+25{\sqrt {3))+\left(110+{\sqrt {5))\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5))))\right)a^{2}\approx 102{,}1820922a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{12))\left(505+243{\sqrt {5))\right)a^{3}\approx 87{,}3637099a^{3}.}$

• Weisstein, Eric W. Наращённый усечённый додекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Многогранники
Правильные	Трёхмерные (Платоновы тела) Правильный тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Четырёхмерные Пятиячейник Тессеракт Шестнадцатиячейник Двадцатичетырёхъячейник Стодвадцатиячейник Шестисотячейник Большей размерности (указана в скобках) Правильный симплекс Гиперкуб (Пентеракт (5) Гексеракт (6) Гептеракт (7) Октеракт (8) Эннеракт (9) Декеракт (10)) Гипероктаэдр
Правильные невыпуклые	Звёздчатый додекаэдр Звёздчатый икосододекаэдр Звёздчатый икосаэдр Звёздчатый многогранник Звёздчатый октаэдр
Трёхмерные по количеству граней (указано в скобках)	Моноэдр (1)[англ.] Диэдр (2) Триэдр (3) Тетраэдр (4) Пентаэдр (5) Гексаэдр (6) Гептаэдр (7)[англ.] Октаэдр (8) Эннеаэдр (9) Декаэдр (10) Эндекаэдр (11)[англ.] Додекаэдр (12) Тридекаэдр (13) Тетрадекаэдр (14)[англ.] Пентадекаэдр (15)[англ.] Гексадекаэдр (16) Гептадекаэдр (17)[англ.] Октадекаэдр (18)[англ.] Эннеадекаэдр (19) Икосаэдр (20) Икосотетраэдр (24)[кит.] Триаконтаэдр (30) Гексаконтаэдр (60)[англ.] Эннеаконтаэдр (90)[англ.] Гектотриадиоэдр (132)[англ.] Апейроэдр (∞)[англ.] Осоэдр
Выпуклые	Архимедовы тела Кубооктаэдр Икосододекаэдр Усечённый тетраэдр Усечённый октаэдр Усечённый икосаэдр Усечённый куб Усечённый додекаэдр Ромбокубооктаэдр Ромбоикосододекаэдр Усечённый кубооктаэдр Ромбоусечённый икосододекаэдр Курносый куб Курносый додекаэдр Каталановы тела Ромбододекаэдр Ромботриаконтаэдр Триакистетраэдр Тетракисгексаэдр Пентакисдодекаэдр Триакисоктаэдр Триакисикосаэдр Дельтоидальный икоситетраэдр Дельтоидальный гексеконтаэдр Гекзакисоктаэдр Гекзакисикосаэдр Пентагональный икоситетраэдр Пентагональный гексеконтаэдр Призмы Треугольная призма Четырёхугольная призма Пятиугольная призма Шестиугольная призма Семиугольная призма[англ.] Восьмиугольная призма Девятиугольная призма[англ.] Десятиугольная призма Одиннадцатиугольная призма[англ.] Двенадцатиугольная призма[англ.] Многогранники Джонсона Квадратная пирамида Пятиугольная пирамида Трёхскатный купол Четырёхскатный купол Пятискатный купол Пятискатная ротонда Удлинённая треугольная пирамида Удлинённая четырёхугольная пирамида Удлинённая пятиугольная пирамида Скрученно удлинённая четырёхугольная пирамида Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида Треугольная бипирамида Пятиугольная бипирамида Удлинённая треугольная бипирамида Удлинённая четырёхугольная бипирамида Удлинённая пятиугольная бипирамида Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида Удлинённый трёхскатный купол Удлинённый четырёхскатный купол Удлинённый пятискатный купол Удлинённая пятискатная ротонда Скрученно удлинённый трёхскатный купол Скрученно удлинённый четырёхскатный купол Скрученно удлинённый пятискатный купол‎ Скрученно удлинённая пятискатная ротонда Гиробифастигиум Трёхскатный прямой бикупол Четырёхскатный прямой бикупол Четырёхскатный повёрнутый бикупол Пятискатный прямой бикупол Пятискатный повёрнутый бикупол Пятискатная прямая куполоротонда Пятискатная повёрнутая куполоротонда Пятискатная прямая биротонда Удлинённый трёхскатный прямой бикупол Удлинённый трёхскатный повёрнутый бикупол Удлинённый квадратный гиробикупол Удлинённый пятискатный прямой бикупол Удлинённый пятискатный повёрнутый бикупол Удлинённая пятискатная прямая куполоротонда Удлинённая пятискатная повёрнутая куполоротонда Удлинённая пятискатная прямая биротонда Удлинённая пятискатная повёрнутая биротонда Скрученно удлинённый трёхскатный бикупол Скрученно удлинённый четырёхскатный бикупол Скрученно удлинённый пятискатный бикупол Скрученно удлинённая пятискатная куполоротонда Скрученно удлинённая пятискатная биротонда Наращённая треугольная призма Дважды наращённая треугольная призма Трижды наращённая треугольная призма Наращённая пятиугольная призма Дважды наращённая пятиугольная призма Наращённая шестиугольная призма Дважды противоположно наращённая шестиугольная призма Дважды косо наращённая шестиугольная призма Трижды наращённая шестиугольная призма Наращённый додекаэдр Дважды противоположно наращённый додекаэдр Дважды косо наращённый додекаэдр Трижды наращённый додекаэдр Дважды косо отсечённый икосаэдр Трижды отсечённый икосаэдр Наращённый трижды отсечённый икосаэдр Наращённый усечённый тетраэдр Наращённый усечённый куб Дважды наращённый усечённый куб Наращённый усечённый додекаэдр Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр Дважды косо наращённый усечённый додекаэдр Трижды наращённый усечённый додекаэдр Скрученный ромбоикосододекаэдр Дважды противоположно скрученный ромбоикосододекаэдр Дважды косо скрученный ромбоикосододекаэдр Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр Отсечённый ромбоикосододекаэдр Противоположно скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр Косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр Дважды косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр Дважды противоположно отсечённый ромбоикосододекаэдр Дважды косо отсечённый ромбоикосододекаэдр Скрученный дважды отсечённый ромбоикосододекаэдр Трижды отсечённый ромбоикосододекаэдр Плосконосый двуклиноид Плосконосая квадратная антипризма Клинокорона Наращённая клинокорона Большая клинокорона Уплощённая большая клинокорона Опоясанный двуклинник Двойная серпоротонда Уплощённая треугольная клиноротонда Пирамида Бипирамида Антипризма Зоноэдр Параллелепипед Ромбоэдр Призматоид Тетраэдр Усечённая пирамида Пентагондодекаэдр Параллелоэдр Купол Ротонда Биротонда Дельтаэдр Трапецеромбический додекаэдр Додекаэдр Билинского Циклический многогранник
Формулы, теоремы, теории	Теорема Александрова о развёртке Теорема Бликера Теорема Коши о многогранниках Теорема Линделёфа о многограннике Теорема Минковского о многогранниках Теорема Сабитова Теорема Эйлера для многогранников Формула Шлефли
Прочее	Символ Шлефли Нотация Конвея Многогранник Силаши Многогранник Часара Многогранник Шёнхардта Изгибаемый многогранник (Многогранник Штеффена) Многогранник Ханнера Холиэдр Перестановочный многогранник Ортоцентрический тетраэдр Равногранный тетраэдр Прямоугольный параллелепипед Группа многогранника Двенадцатигранники Телесный угол Единичный куб Развёртка Паркет Скутоид