Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.

Примерами гомеоморфизмов являются подобия геометрических фигур и изометрии метрических пространств. Однако в общем случае они не обязаны сохранять геометрические свойства. Так, гомеоморфизмы могут изменять углы, длины, площади, объёмы и кривизну, растягивать объекты, скручивать, мять и изгибать.

Пространства называются гомеомо́рфными, если между ними существует гомеоморфизм. Все топологические свойства гомеоморфных пространств одинаковы, поэтому с точки зрения топологии такие пространства неразличимы.

С точки зрения теории категорий гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств. Иными словами, гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами.

Термин «гомеоморфизм» происходит от сочетания двух древнегреческих слов: ὅμοιος — похожий и μορφή — форма.

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {T))_{X})}$ и ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T))_{Y})}$ — два топологических пространства. Функция ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется гомеоморфизмом, если:

• ${\displaystyle f}$ взаимно однозначна;
• ${\displaystyle f}$ непрерывна;
• обратная функция ${\displaystyle f^{-1))$ непрерывна.

Иными словами, ${\displaystyle f}$ биективна и для любого подмножества ${\displaystyle A\subseteq X}$ условие ${\displaystyle A\in {\mathcal {T))_{X))$ выполняется в том и только в том случае, если ${\displaystyle f(A)\in {\mathcal {T))_{Y))$.

Если между пространствами ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ существует гомеоморфизм, то пишут ${\displaystyle X\simeq Y}$ или ${\displaystyle X\cong Y}$ и называют их гомеоморфными или топологически эквивалентными. Гомеоморфизм из пространства в себя называется его автогомеоморфизмом.

• На плоскости любые два выпуклых многоугольника гомеоморфны.
• Пространства разной мощности не гомеоморфны. Два пространства, наделённых дискретной топологией, гомеоморфны тогда и только тогда, когда они равномощны.
• Произвольный открытый интервал ${\displaystyle (a,b)\subset \mathbb {R} }$ гомеоморфен всей вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Гомеоморфизм ${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$ задаётся, например, формулой

${\displaystyle f(x)=\mathrm {ctg} \left(\pi {\frac {x-a}{b-a))\right).}$

В частности, любые два открытых интервала гомеоморфны.

• Отрезок ${\displaystyle [0,\;1]}$ не гомеоморфен вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Это связано с тем, что отрезок компактен, а прямая — нет.
• Если ${\displaystyle n\neq m}$, то ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\not \cong \mathbb {R} ^{m))$.
• Теорема о гомеоморфизме^{[источник не указан 593 дня]}. Пусть ${\displaystyle |a,b|\subset \mathbb {R} }$ — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть ${\displaystyle f:|a,b|\to f{\bigl (}|a,b|{\bigr )}\subset \mathbb {R} }$ — биекция. Тогда ${\displaystyle f}$ является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$ строго монотонна и непрерывна на ${\displaystyle |a,b|.}$

Характеристика топологических пространств, которая принимает одинаковое значение на гомеоморфных пространствах, называется топологическим инвариантом. Примерами таких характеристик являются: количество компонент связности, размерность, эйлерова характеристика, числа Бетти, фундаментальная группа, группы гомологий и когомологий, гомотопические группы.

Аналогично определяются топологические свойства, то есть свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примерами таких свойств являются: метризуемость, все виды отделимости, связность и линейная связность, компактность, односвязность, свойство быть топологическим многообразием.

Некоторые топологические инварианты и свойства определены лишь для пространств особого типа. Примером такого инварианта является род поверхности. Кроме того, ориентируемость является свойством многообразия.

Непрерывное отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$ топологических пространств называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки пространства ${\displaystyle X}$ имеется такая окрестность ${\displaystyle U}$, что образ ${\displaystyle f(U)}$ открыт в ${\displaystyle Y}$ и сужение ${\displaystyle f|_{U}:U\to f(U)}$ является гомеоморфизмом^[1].

Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом, однако обратное неверно. Так, локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен.

Например, отображение ${\displaystyle x\to (\cos x,\sin x)}$ является локальным гомеоморфизмом из вещественной прямой ${\displaystyle {\mathbb {R} ))$ в окружность ${\displaystyle S^{1))$. Более того, каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом. Кроме того, среди тождественных вложений ${\displaystyle (0,1)\to {\mathbb {R} ))$ и ${\displaystyle [0,1]\to {\mathbb {R} ))$ первое является локальным гомеоморфизмом, а второе — нет.

Локальные гомеоморфизмы не обязательно сохраняют топологические свойства. Однако если между топологическими пространствами существует локальный гомеоморфизм, то они имеют одинаковые так называемые локальные свойства. Среди них: локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность и локальная метризуемость.

• Словарь терминов общей топологии
• Диффеоморфизм
• Универсальный гомеоморфизм

• Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.
• Тимофеева Н. В. Дифференциальная геометрия и элементы топологии. — ЯГПУ, 2007.
• Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
• Виро О. Я., Иванов О. А., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М.. Элементарная топология (рус.). — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Homeomorphism", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты	MathWorld MathWorld nLab
Словари и энциклопедии	Большая российская (научно-образовательный портал) Большая советская (1 изд.) Математическая Математическая Britannica (онлайн) Britannica (онлайн) PWN
В библиографических каталогах	GND: 4352383-3

Топология
Разделы	Теоретико-множественная Маломерная двумерная трёхмерная четырёхмерная Дифференциальная Геометрическая[англ.] теория узлов теория кос Комбинаторная Гомотопическая Алгебраическая Алгоритмическая
Основные понятия	Метрическое пространство Топологическое пространство Гомеоморфизм Симплициальный комплекс CW-комплекс Вложение Путь петля Гомотопия ретракция изотопия объемлющая изотопия Расслоение Пучок
Многообразия	Поверхность Трёхмерное многообразие Ориентация Связная сумма Разложение на ручки Слоение Бордизм Коэффициент зацепления Степень отображения
Топологические инварианты	Связность Компактность Эйлерова характеристика Первая группа гомологий Первая группа когомологий Числа Бетти Размерность Фундаментальная группа Конфигурационное пространство Группа классов отображений Когомологии Гомотопические группы