For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Метризуемое пространство.

Метризуемое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

Если такая метрика существует, то она не единственна — за исключением тривиальных случаев: когда пространство пусто или состоит лишь из одной точки. Например, топология каждого метризуемого пространства порождается некоторой ограниченной метрикой.

Необходимые условия метризуемости

[править | править код]

Достаточное условие метризуемости

[править | править код]

Каждое нормальное пространство (и даже каждое регулярное пространство) со счётной базой метризуемо. (П. С. Урысон и А. Н. Тихонов)

Эквивалентные условия метризуемости

[править | править код]

Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 П. С. Александровым и П. С. Урысоном. На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости:

  • пространство метризуемо в том и только в том случае, когда оно коллективно нормально и обладает счётным измельчающимся множеством открытых покрытий;
  • (критерий Стоуна — Архангельского) Пространство метризуемо, в том и только в том случае, когда оно обладает счётным фундаментальным множеством открытых покрытий и удовлетворяет -аксиоме отделимости. При этом множество открытых покрытий пространства называется фундаментальным, если для каждой точки , каждой её окрестности найдутся покрытие и окрестность точки такие, что каждый элемент покрытия , пересекающийся с , содержится в .

На другой важной концепции — локальной конечности — основаны общие метризационные критерии.

  • Критерий Нагаты — Смирнова: пространство метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой, распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств.

Критерий Бинга аналогичен, но в нём вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств. Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы. База пространства называется регулярной (равномерной), если для всякой точки и любой её окрестности найдется окрестность этой точки такая, что число элементов базы , пересекающих одновременно и дополнение к , конечно (соответственно, если множество элементов таких что , конечно).

  • Пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно коллективно нормально и обладает равномерной базой.
  • Для метризуемости -пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой.

По теореме Ковальского, счётная степень ежа колючести (при ) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса . Таким образом, пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно подпространству счётной степени ежа некоторой колючести .[1]

Частные случаи

[править | править код]

Метризационные критерии достигают простоты в ряде специальных классов пространств. Так, для метризуемости компакта любое из следующих трёх условий необходимо и достаточно:

Для метризуемости пространства топологической группы необходимо и достаточно, чтобы в последнем выполнялась первая аксиома счётности и аксиома отделимости , причем тогда пространство метризуемо инвариантной метрикой (например, по отношению к умножению слева).

Не всякое метризуемое пространство метризуемо полной метрикой; таково, например, пространство рациональных чисел. Пространство метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно метризуемо и полно по Чеху, то есть является множеством типа Gδ в некотором содержащем его компакте. Важным топологическим свойством пространств, метризуемых полной метрикой, является свойство Бэра: пересечение любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.

Вариации и обобщения

[править | править код]

К метризуемым пространствам наиболее близки по свойствам моровские пространства — вполне регулярные пространства, обладающие счетным измельчающимся семейством открытых покрытий, и кружевные пространства.

Пространство называется локально метризуемым, если каждая его точка имеет метризуемую окрестность.

Широкий спектр обобщений концепции метризуемого пространства получается, если варьировать аксиомы метрики, ослабляя их в том или ином отношении и рассматривая порожденные такими «метриками» топологии. На этом пути получаются симметризуемые пространства — путём отказа от аксиомы неравенства треугольника. В эту схему укладываются и моровские пространства. Другое важное обобщение концепции метризуемости связано с рассмотрением «метрик» со значениями в полуполях и других алгебраических образованиях общей природы.

Примечания

[править | править код]
  1. Swardson, M. A. A short proof of Kowalsky's hedgehog theorem. американское математическое общество (1 июня 1979). Дата обращения: 12 июля 2014. Архивировано 14 июля 2014 года.

Литература

[править | править код]
  • Александров, Павел Сергеевич, Борис Алексеевич Пасынков. Введение в теорию размерности: введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — Наукa, Главная редакция физико-математической литературы, 1973.
Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Метризуемое пространство
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.

X

Get ready for Wikiwand 2.0 🎉! the new version arrives on September 1st! Don't want to wait?