Гипотеза Фирузбэхт^[1][2] — это гипотеза о распределении простых чисел. Гипотеза носит имя иранского математика Фариды Фирузбэхт (1962—2019) из университета в Исфахане, которая высказала её в 1982 году.

Гипотеза утверждает, что ${\displaystyle p_{n}^{1/n))$ (где ${\displaystyle p_{n))$ — n-е простое число) является строго убывающей функцией от n, т. е.

${\displaystyle {\sqrt[{n+1}]{p_{n+1))}<{\sqrt[{n}]{p_{n))))$ для всех ${\displaystyle n\geqslant 1.}$

Эквивалентно:

${\displaystyle p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n))))$ для всех ${\displaystyle n\geqslant 1,}$

см. последовательности A182134, A246782.

Используя таблицу максимальных интервалов, Фарида Фирузбэхт проверила свою гипотезу до 4,444⋅10^12[2]. С расширенной таблицей максимальных промежутков гипотеза была проверена для всех простых чисел до ${\displaystyle 10^{19))$^[3][4].

Если гипотеза верна, то функция интервалов между простыми числами ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n))$ должна удовлетворять неравенству^[5]

${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n))$ для всех ${\displaystyle n>4.}$

Более того^[6],

${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1}$ для всех ${\displaystyle n>9,}$

см. также последовательность A111943. Гипотеза находится среди наиболее сильных гипотез о верхних границах для интервалов между простыми числами, она даже несколько сильнее гипотез Крамера и Шенкса^[4]. Из гипотезы вытекает сильная форма гипотезы Крамера, а потому она несовместима с эвристикой Гранвилла, Пинтца^[7][8][9] и Майера^[10][11], в которой предполагается, что

${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma ))}(\log p_{n})^{2))$

встречается бесконечно много раз для любого ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ где ${\displaystyle \gamma }$ означает константу Эйлера — Маскерони.

Две связанные гипотезы (см. комментарии к последовательности A182514)

${\displaystyle \left({\frac {\log p_{n+1)){\log p_{n))}\right)^{n}<e,}$

которая несколько слабее, и

${\displaystyle \left({\frac {p_{n+1)){p_{n))}\right)^{n}<n\log n}$ для всех ${\displaystyle n>5,}$

которая сильнее.

• Теорема о распределении простых чисел

• Hans Riesel. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Second Edition (англ.). — Birkhauser^[англ.], 1985. — ISBN 3-7643-3291-3.

Классы простых чисел
По формуле	Ферма (22n + 1) Мерсенна (2p ? 1) Двойные Мерсенна (22p?1 ? 1) Вагстафа (2p + 1)/3 Прота (k•2n + 1) Факториальное (n! ± 1) Праймориальное (pn# ± 1) Евклида (pn# + 1) Пифагора (4n + 1) Пьерпонта (2u•3v + 1) Квартановое (x4 + y4) Солинаса (2a ± 2b ± 1) Каллена (n•2n + 1) Вудала (n•2n ? 1) Кубические (x3 ? y3)/(x ? y) Кэрола (2n ? 1)2 ? 2 Кении (2n + 1)2 ? 2 Лейланда (xy + yx) Сабита (3•2n ? 1) Миллса (floor(A3n))
Последовательности	Фибоначчи Люка Пелля Ньюмена — Шэнкса — Уильямса Перрина Разбиение числа Белла • Моцкина
По свойствам	Вифериха пара Уолла — Суня — Суня Вольстенхольма Вильсона Счастливые Фортуновы Рамануджана Пиллаи Регулярное Сильное Штерна Суперсингулярные (эллиптические кривые) Суперсингулярное (теория чудовищного вздора) Хорошее Суперпростое Хиггса Высококототиентное
Зависящие от системы счисления	Довольное Диэдральное Палиндромное Еотсорп Репьюниты (10n ? 1)/9 Перестановочное Кольцевое Усекаемое Стробограмматики Минимальное Слабо простые Полно-повторное Уникальное Первобытное Самопорождённые Смарандаша — Веллена
Модели	Близнецы (p, p + 2) Цепочка близнецов (n ? 1, n + 1, 2n ? 1, 2n + 1, …) Тройка простых (p, p + 2 или p + 4, p + 6) Четвёрка простых (p, p + 2, p + 6, p + 8) k-Кортеж Родственные (p, p + 4) Отличающиеся на 6 (p, p + 6) Чена • Софи Жермен (p, 2p + 1) Цепи Куннингама (p, 2p ± 1, …) Безопасные (p, (p ? 1)/2) Прогрессии (p + a•n, n = 0, 1, …) Сбалансированные (последовательные p ? n, p, p + n)
По размеру	Титаническое (1.000+ знаков) Гигантское (10.000+) Мегапростое (1.000.000+) Наибольшее известное
Комплексные числа	Простые числа Эйзенштейна Гауссовы простые числа
Составные числа	Псевдопростое Почти простое Полупростое Интерпростое
Связанные разделы	Вероятно простое Промышленное Незаконное Формула простых чисел Интервалы между простыми числами