Проблема Гольдбаха (гипотеза Гольдбаха, проблема Эйлера, бинарная проблема Гольдбаха) — утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Является открытой математической проблемой — по состоянию на 2023 год утверждение не доказано. В совокупности с гипотезой Римана включена в список проблем Гильберта под номером 8.

Более слабый вариант гипотезы — тернарная проблема Гольдбаха^[⇨], согласно которой любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел, — в 2013 году доказана перуанским математиком Харальдом Гельфготтом. Из справедливости бинарной проблемы Гольдбаха очевидным образом следует тернарная: если каждое чётное число, начиная с 4, — сумма двух простых чисел, то, добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7.

В 1742 году математик Христиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение: каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу: каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Первое утверждение называется тернарной проблемой Гольдбаха, второе — бинарной проблемой Гольдбаха (или проблемой Эйлера).

Гипотезу, сходную с тернарной проблемой Гольдбаха, но в более слабой форме, высказал Варинг в 1770 году: каждое нечётное — простое число или сумма трёх простых.

В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел.

В 1937 году Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, то есть доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент Константин Бороздин доказал, что нижняя граница не превышает 3³¹⁵ ≈ 3,25×10^6 846 168 ≈ 10^6 846 168. То есть это число содержит почти 7 миллионов цифр, что делает невозможной прямую проверку всех меньших чисел.

В дальнейшем результат Виноградова многократно улучшали, пока в 1989 году Ван и Чэнь не опустили^[2] нижнюю грань до e^e11,503 ≈ 3,33339×10^43 000 ≈ 10^43 000,5, что, тем не менее, по-прежнему было вне пределов досягаемости для явной проверки всех меньших чисел.

В 1997 году Дезуйе, Эффингер, те Риле и Зиновьев показали^[3], что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость тернарной проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел, превышающих 10²⁰, в то время как справедливость утверждения для меньших чисел легко устанавливается на компьютере.

В 2013 году тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана Харальдом Гельфготтом^[4][5][6][7].

Бинарная проблема Гольдбаха всё ещё далека от решения.

Виноградов в 1937 году и Теодор Эстерманн в 1938 году показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел. Этот результат был немного усилен в 1975 году Хью Монтгомери (англ. Hugh Montgomery) и Бобом Воном (англ. Bob Vaughan). Они показали, что существуют положительные константы c и C такие, что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает ${\displaystyle CN^{1-c))$.

В 1930 году Шнирельман доказал, что любое целое число представимо в виде суммы не более чем 800 000 простых чисел^[8]. Этот результат многократно улучшался, так, в 1995 году Оливье Рамаре доказал, что любое чётное число — сумма не более чем 6 простых чисел.

Из справедливости тернарной гипотезы Гольдбаха (доказанной в 2013 году) следует, что любое чётное число — сумма не более чем 4 простых чисел.

В 1966 году Чэнь Цзинжунь доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, 100 = 23 + 7 · 11.

На апрель 2012 года бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена^[9] для всех чётных чисел, не превышающих 4×10¹⁸.

Если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение.

Бинарная гипотеза Гольдбаха может быть переформулирована как утверждение о неразрешимости диофантова уравнения 4-й степени некоторого специального вида^[10][11].

В 1992 году вышел в свет и получил чрезвычайную популярность «роман идей» Апостолоса Доксиадиса «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха». В рекламных целях издательство Faber and Faber пообещало миллион долларов тому из читателей, кто в течение двух лет после тиража даст решение задачи. Роман был переведён на десятки языков, в 2002 году появился его русский перевод^[12].

Проблема Гольдбаха является важной составляющей сюжетов фильма «Западня Ферма», вышедшего в 2007 году, и пилота сериала «Льюис» (2006 год), а также фильма «Теория простых чисел», вышедшего в 2023 году.

• «Математическая энциклопедия». М. 1977. Том I, с. 94, статья «Аддитивные проблемы».
• Прахар К. П. Распределение простых чисел (рус.). — М.: «Мир», 1967. — 512 с.
• Иэн Стюарт. Территория простых чисел. Проблема Гольдбаха // Величайшие математические задачи (рус.). — М.: «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.

• Коняев, Андрей. Бог любит троицу. Решена одна из старейших и сложнейших математических задач  (рус.). Лента.ру (17 июня 2013). — О завершении доказательства тернарной проблемы Гольдбаха. Дата обращения: 21 января 2016. Архивировано 19 июня 2013 года.
• Петров С. Абсолютное программирование. Рекурсия — пример типичной псевдоматематической попытки доказательства проблемы Гольдбаха методом просеивания.

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты	MathWorld
Словари и энциклопедии	Большая датская Большая российская (старая версия) PWN
В библиографических каталогах	BNF: 13745227d J9U: 987007544410505171 LCCN: sh97007184