В теории чисел праймориальным простым числом называется простое число вида p_n# ± 1, где p_n# — праймориал p_n (то есть произведение первых n простых чисел).

p_n# − 1 является простым для n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, … последовательность A057704 в OEIS

p_n# + 1 является простым для n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, … последовательность A014545 в OEIS

Несколько первых праймориальных простых:

3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30 029, 200 560 490 131, 304 250 263 527 209, … последовательность A228486 в OEIS.

Максимальным известным праймориальным простым числом вида "pn# − 1" является число 3267113# - 1 с 1418398 знаками, оно было найдено в проекте PrimeGrid в 2021 году^[1].

Максимальным известным праймориальным простым числом вида "pn# + 1" является число 392113# + 1 с 169966 знаками, оно было найдено Даниэлем Хойером в 2001 году^[2].

Числа вида p_n# + 1 (не обязательно простые) называются числами Евклида.

Несколько первых чисел Евклида:

3, 7, 31, 211, 2311, 30 031, 510 511, … последовательность A006862 в OEIS.

Широко распространено мнение, что идея праймориальных простых принадлежит Евклиду и появилась в его доказательстве бесконечности числа простых чисел: Предположим, что существует только n простых чисел, тогда число p_n# + 1 взаимно просто с ними, а значит либо оно является простым, либо существует ещё одно простое число.

Нерешённые проблемы математики: Бесконечно ли количество простых чисел Евклида?

Открытой проблемой остаётся, конечно или бесконечно количество праймориальных простых чисел (и, в частности, простых чисел Евклида).

Число Евклида E₆ = 13# + 1 = 30031 = 59 x 509 составное, что демонстрирует, что не все числа Евклида — простые.

Числа Евклида не могут быть квадратными, поскольку они всегда сравнимы с 3 mod 4.

Для всех n ≥ 3 последний знак E_n равен 1, поскольку E_n − 1 делится на 2 и 5.

• Праймориал
• Факториальное простое число
• PrimeGrid

• A. Borning, «Some Results for ${\displaystyle k!+1}$ and ${\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot p+1}$» Math. Comput. 26 (1972): 567—570.
• Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial Архивная копия от 6 мая 2021 на Wayback Machine at The Prime Pages.
• Weisstein, Eric W. Primorial Prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Harvey Dubner, «Factorial and Primorial Primes.» J. Rec. Math. 19 (1987): 197—203.
• Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.