대수학에서 형식적 멱급수(形式的冪級數, 영어: formal power series)는 수렴할 필요가 없는 멱급수이다.

환 ${\displaystyle R}$에 대한 형식적 멱급수환 ${\displaystyle R[[x]]}$는 집합으로서 ${\displaystyle R^{\mathbb {N} ))$이다. 형식적 멱급수환에서, 원소

${\displaystyle (r_{0},r_{1},r_{2},\dots )}$

는 통상적으로

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}=r_{0}+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots }$

으로 쓴다.

${\displaystyle R^{\mathbb {N} ))$ 위에는 자연스러운 아벨 군 및 좌·우 ${\displaystyle R}$-가군 구조가 존재한다. 또한, 다음과 같은 곱셈을 정의하여, 환으로 만들 수 있다.

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}r_{k}s_{n-k}x^{n))$

이에 따라 ${\displaystyle R[[x]]}$는 결합 ${\displaystyle R}$-대수를 이룬다.

형식적 멱급수환의 원소를 형식적 멱급수라고 한다. ${\displaystyle R[[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]]}$은 ${\displaystyle R[[x_{1}]][[x_{2}]]\cdots [[x_{n}]]}$을 뜻한다.

형식적 멱급수환 위에는 다음과 같은 ${\displaystyle R}$-선형 연산

${\displaystyle D\colon R[[x]]\to R[[x]]}$

${\displaystyle D\colon \sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }nr_{n}x^{n-1))$

이 존재하며, 이를 미분이라고 한다.

임의의 ${\displaystyle a,b\in R[[x]]}$가 주어졌고, ${\displaystyle b_{0}=0}$이라고 하자 (즉, ${\displaystyle b\in (x)}$). 그렇다면 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$의 합성 ${\displaystyle a\circ b\in R[[x]]}$은 다음과 같다.

${\displaystyle a\circ b=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j\in (\mathbb {Z} ^{+})^{k))^{j_{1}+\cdots +j_{k}=n}a_{k}b_{j_{1))b_{j_{2))\cdots b_{j_{k))x^{n))$

만약 ${\displaystyle R}$가 가환환이라면, 합성의 결합 법칙이 성립한다. 하지만 가환환이 아닌 환에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

환 ${\displaystyle R}$에 대하여,

• 만약 ${\displaystyle R}$가 가환환이라면, ${\displaystyle R[[x]]}$ 역시 가환환이다.
• 만약 ${\displaystyle R}$가 가환 뇌터 환이라면, ${\displaystyle R[[x]]}$ 역시 가환 뇌터 환이다.
• 만약 ${\displaystyle R}$가 정역이라면, ${\displaystyle R[[x]]}$ 역시 정역이다.
• 만약 ${\displaystyle R}$가 체라면, ${\displaystyle R[[x]]}$는 이산 값매김환이다.

형식적 멱급수환의 원소

${\displaystyle a=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\in R[[x]]}$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle a\in R[[x]]}$는 가역원이다.
• ${\displaystyle a_{0}\in R}$는 가역원이다.

구체적으로, ${\displaystyle a}$의 역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

${\displaystyle (a^{-1})_{0}=a_{0}^{-1))$

${\displaystyle (a^{-1})_{n}=-a_{0}^{-1}\sum _{i=1}^{n}a_{i}(a^{-1})_{n-i}=-\sum _{i=1}^{n}(a^{-1})_{n-i}a_{i}a_{0}^{-1}\qquad (n\geq 1)}$

형식적 멱급수환 ${\displaystyle R[[x]]}$ 위에 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle d(a,b)=2^{-\min\{n\in \mathbb {N} \colon a_{n}\neq b_{n}\))\qquad (a\neq b)}$

형식적 멱급수환은 이 거리 함수에 대하여 완비 거리 공간을 이루며, 또한 위상환을 이룬다.^{[1]:132, §III.7, Exercise 5} 이는 다항식환 ${\displaystyle R[x]}$의 완비화이다.^{[1]:132, §III.7, Exercise 6}

이 거리 공간 구조 아래, 임의의 형식적 멱급수

${\displaystyle a=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\in R[[x]]}$

는 부분합의 점렬

${\displaystyle (a_{0},a_{0}+a_{1}x,a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},\dots )}$

의 극한이다.

체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 형식적 로랑 급수체 ${\displaystyle K((x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))}$은 형식적 멱급수환의 분수체이다.

${\displaystyle K((x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))=\operatorname {Frac} (K[[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]])=\operatorname {Frac} (K[[x_{1}]][[x_{2}]]\cdots [[x_{n}]])}$

정의에 따라, 이는 체를 이룬다. 구체적으로, ${\displaystyle p\in K((x))}$는

${\displaystyle p=\sum _{i=m}^{\infty }p_{i}x^{i))$

의 꼴로 전개할 수 있다 (${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$). 즉, 유한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있다. 이는 (무한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있는) 복소해석학의 로랑 급수와 다르다.

다항식환, 유리 함수체, 형식적 멱급수환에서는

${\displaystyle K[x][y]\cong K[x,y]}$

${\displaystyle K(x)(y)\cong K(x,y)}$

${\displaystyle K[[x]][[y]]\cong K[[x,y]]}$

가 성립하지만, ${\displaystyle K((x,y))}$와 ${\displaystyle K((x))((y))}$는 서로 다른 체이다. 일반적으로, ${\displaystyle K((x,y))}$는 ${\displaystyle K(x)((y))}$의 부분환이며, 단사 준동형

${\displaystyle K((x,y)){\stackrel {\iota _{x)){\hookrightarrow ))K(x)((y))\hookrightarrow K((x))((y))}$

${\displaystyle K((x,y)){\stackrel {\iota _{y)){\hookrightarrow ))K(y)((x))\hookrightarrow K((y))((x))}$

이 존재한다. 예를 들어,

${\displaystyle \iota _{x}\colon {\frac {1}{x-y))\mapsto x^{-1}+x^{-2}y+x^{-3}y^{2}+\cdots \in K(x)((y))}$

${\displaystyle \iota _{y}\colon {\frac {1}{x-y))\mapsto -y^{-1}-y^{-2}x-y^{-3}x^{2}-\cdots \in K(y)((x))}$

이다. 그러나 ${\displaystyle \iota _{x))$ 및 ${\displaystyle \iota _{y))$는 동형 사상이 아니다. 예를 들어,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{-n^{2))y^{n}\in K(x)((y))\setminus \iota _{x}(K((x,y)))}$

이다.^[2]

• 다항식환
• 퓌죄 급수
• 국소화 (환론)

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Formal power series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

v t e 수열 및 급수
정수 수열	기초 등차수열 등비수열 조화수열 정사각수 세제곱수 계승 2의 거듭제곱 3의 거듭제곱 10의 거듭제곱 심화 (목록) 피보나치 수 다각수 칠각수 육각수 뤼카 다항식 펠 수 오각수 다각수 삼각수
수열의 속성	코시 열 단조함수 주기수열
급수의 속성	수렴급수 발산 급수 조건 수렴 절대 수렴 균등수렴 교대급수 망원급수
명시 급수	수렴 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 1 + 1/2s+ 1/3s + ... (리만 제타 함수) 발산 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (그란디 급수) 등차수열 1−2+3−4+… 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (조화급수) 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (소수의 역수) 모름 플린트 힐스 급수
급수의 종류	테일러 급수 멱급수 형식적 멱급수 로랑 급수 퓌죄 급수 디리클레 급수 삼각급수 푸리에 급수 생성함수
초기하급수	초기하함수
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