대수학에서 다항식환(多項式環, 영어: polynomial ring)은 어떤 주어진 환을 계수로 하는 다항식들로 구성된 환이다.

환 ${\displaystyle R}$에 대한 다항식환 ${\displaystyle R[x]}$는 집합으로서

${\displaystyle \{p\in R^{\mathbb {N} }\colon |\{n\in \mathbb {N} \colon p_{n}\neq 0\}|<\aleph _{0}\))$

이다. 이 집합의 원소를 다항식이라고 한다. 각 원소 ${\displaystyle p\in R[x]}$를

${\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots }$

으로 쓰자. 이 집합에서 덧셈

${\displaystyle p(x)+q(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(p_{n}+q_{n})x^{n))$

은 성분에 따른 합이며, 또한 자연스럽게 좌·우 ${\displaystyle R}$-가군 구조가 존재한다.

${\displaystyle rp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }rp_{n}x^{n))$

${\displaystyle p(x)r=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}rx^{n))$

또한, ${\displaystyle R[x]}$에는 다음과 같은 환의 구조가 존재한다.

${\displaystyle p(x)q(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}p_{k}q_{n-k}x^{n))$

다변수 다항식환(多變數多項式環, 영어: polynomial ring in several variables) ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$은 ${\displaystyle R[x_{1}][x_{2}]\cdots [x_{n}]}$과 같다. 다변수 다항식환의 각 원소 ${\displaystyle p\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]}$는

${\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{k}=0}^{\infty }p_{n_{1},\dots ,n_{k))x_{1}^{n_{k))\cdots x_{k}^{n_{k))}$

로 표기한다.

다항식 ${\displaystyle 0\neq p\in R[x]}$의 차수(次數, 영어: degree)는

${\displaystyle \deg p=\max\{n\in \mathbb {N} \colon p_{n}\neq 0\))$

이다. 다항식 0의 차수는 정의되지 않는다 (일부 문헌은 ${\displaystyle \deg 0=-\infty }$ 또는 ${\displaystyle \deg 0=-1}$을 사용한다).

보다 일반적으로, 다변수 다항식 ${\displaystyle 0\neq p\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]}$의 차수는

${\displaystyle \deg p=\max\{n_{1}+\cdots +n_{k}\colon p_{n_{1},\dots ,n_{k))\neq 0\))$

이다.

다항식 ${\displaystyle p,q\in R[x]}$ (또는 다변수 다항식 ${\displaystyle p,q\in R[x_{1},\dots ,x_{k}]}$)가 주어졌고, 편의상 ${\displaystyle \deg 0=-\infty }$라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.

• ${\displaystyle \deg(p+q)\leq \max\{\deg p,\deg q\))$
• 만약 ${\displaystyle \deg p\neq \deg q}$라면, ${\displaystyle \deg(p+q)=\max\{\deg p,\deg q\))$
• ${\displaystyle \deg(pq)\leq \deg p+\deg q}$
• 만약 ${\displaystyle R}$가 영역이라면, ${\displaystyle \deg(pq)=\deg p+\deg q}$

다항식 ${\displaystyle p\in R[x]}$의 근(根, 영어: root)은 ${\displaystyle p(r)=0}$을 만족시키는 환의 원소 ${\displaystyle r\in R}$를 뜻한다. 이 경우 ${\displaystyle (x-r)^{m}\mid p(x)}$를 만족시키는 최대의 정수 ${\displaystyle m}$을 근 ${\displaystyle r}$의 중복도(重復度, 영어: multiplicity)라고 한다. 중복도가 1인 근을 단순근(單純根, 영어: simple root)이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 다중근(多重根, 영어: multiple root)이라고 한다.

가환환 ${\displaystyle R}$를 계수로 하는 다항식 ${\displaystyle p\in R[x]}$ 및 환의 원소 ${\displaystyle r\in R}$가 주어졌다고 하자. 인수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle r}$는 ${\displaystyle p(x)}$의 근이다.
• ${\displaystyle x-r\mid p(x)}$

가환환 ${\displaystyle R}$를 계수로 하는 다항식 ${\displaystyle p\in R[x]}$의 근 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle r}$는 ${\displaystyle p(x)}$의 단순근이다.
• ${\displaystyle p'(r)\neq 0}$

표수 ${\displaystyle c}$의 체 ${\displaystyle K}$를 계수로 하는 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$의 근 ${\displaystyle a\in K}$의 중복도가 ${\displaystyle m}$이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• 만약 ${\displaystyle c\nmid m}$이라면, ${\displaystyle p'(x)}$에 대한 ${\displaystyle a}$의 중복도는 ${\displaystyle m-1}$이다.
• 만약 ${\displaystyle c\mid m}$이라면, ${\displaystyle p'(x)}$에 대한 ${\displaystyle a}$의 중복도는 ${\displaystyle m}$ 이상이다.

특히, 만약 ${\displaystyle c=0}$이거나 ${\displaystyle c>m}$이라면, ${\displaystyle p(x)}$에 대한 ${\displaystyle a}$의 중복도는

${\displaystyle m=\min\{k\in \mathbb {Z} ^{+}\colon p^{(k)}(a)\neq 0\))$

이다.

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$를 계수로 하는 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle p(x)}$는 다중근을 가진다.
• ${\displaystyle \gcd\{p(x),p'(x)\}\neq 1}$

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$를 계수로 하는 기약 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle p(x)}$는 다중근을 가진다.
• ${\displaystyle p'(x)=0}$

체 ${\displaystyle K}$를 계수로 하는 기약 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$가 주어졌고, ${\displaystyle K}$의 대수적 폐포가 ${\displaystyle {\bar {K))}$라고 하자. 만약 ${\displaystyle K}$의 표수가 0이거나, ${\displaystyle K}$가 유한체라면, ${\displaystyle p(x)}$는 ${\displaystyle {\bar {K))}$에서 다중근을 갖지 않는다 (즉, ${\displaystyle p(x)}$는 분해 가능 다항식이다).

환 ${\displaystyle R}$에 대하여,

• 만약 ${\displaystyle R}$가 가환환이라면, ${\displaystyle R[x]}$ 역시 가환환이다.
• 만약 ${\displaystyle R}$가 영역이라면, ${\displaystyle R[x]}$ 역시 영역이다.
• 만약 ${\displaystyle R}$가 정역이라면, ${\displaystyle R[x]}$ 역시 정역이다.
• 만약 ${\displaystyle R}$가 유일 인수 분해 정역이라면, ${\displaystyle R[x]}$ 역시 유일 인수 분해 정역이다.
• (힐베르트 기저 정리) 만약 ${\displaystyle R}$가 가환 뇌터 환이라면, ${\displaystyle R[x]}$ 역시 가환 뇌터 환이다.
• 만약 ${\displaystyle R}$가 체라면, ${\displaystyle R[x]}$는 유클리드 정역이다.

영역 ${\displaystyle R}$를 계수로 하는 다항식 ${\displaystyle p\in R[x]}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle p(x)}$는 ${\displaystyle R[x]}$의 가역원이다.
• ${\displaystyle p\in R}$이며, ${\displaystyle p}$는 ${\displaystyle R}$의 가역원이다.

다항식환은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 가환환 ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$ 및 환 준동형 ${\displaystyle \phi \colon R\to S}$ 및 원소 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 환 준동형 ${\displaystyle {\widetilde {\phi ))\colon R[x]\to S}$가 존재한다.

• ${\displaystyle {\widetilde {\phi ))|_{R}=\phi }$
• ${\displaystyle \phi (x)=s}$

특히, 다음 그림이 가환한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}R&\hookrightarrow &R[x]\\&{\scriptstyle \phi }\searrow &\downarrow {\scriptstyle {\widetilde {\phi ))}\\&&S\end{matrix))}$

구체적으로,

${\displaystyle {\widetilde {\phi ))\colon p(x)\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }\phi (p_{n})s^{n))$

이다.

• 비가환 다항식환

• Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 242 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285. LCCN 2007928732. 

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Polynomial ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

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