체론에서 분해 가능 확대(分解可能擴大, 영어: separable extension)는 최소 다항식의 근들이 겹치지 않는 대수적 확대이다.

체 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 기약 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기약 다항식을 분해 가능 다항식(分解可能多項式, 영어: separable polynomial)이라고 한다.

• 모든 체의 확대 ${\displaystyle L/K}$ 및 ${\displaystyle a\in L}$에 대하여, ${\displaystyle L[x]}$ 속에서 ${\displaystyle (x-a)^{2}\nmid p(x)}$이다.
• ${\displaystyle |\{a\in L\colon p(a)=0\}|=\deg p}$인 체의 확대 ${\displaystyle L/K}$가 존재한다.
• 모든 체의 확대 ${\displaystyle L/K}$ 및 ${\displaystyle a\in L}$에 대하여, ${\displaystyle p(a)=0=p'(a)}$임은 불가능하다.
• 형식적 도함수 ${\displaystyle p'\in K[x]}$에 대하여, ${\displaystyle dp/dx\neq 0}$이다.

최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 대수적 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여, 만약 모든 ${\displaystyle a\in L}$에 대하여 그 최소 다항식 ${\displaystyle p_{a}(x)\in K[x]}$이 분해 가능 다항식이라면 ${\displaystyle L/K}$를 분해 가능 확대라고 한다.

체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 그 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {K))}$ 속에서, ${\displaystyle K}$에 대하여 최소 다항식이 분해 가능한 원소들의 집합 ${\displaystyle K^{\operatorname {sep} ))$은 ${\displaystyle {\bar {K))}$의 부분체를 이루며, 이를 ${\displaystyle K}$의 분해 가능 폐포(分解可能閉包, 영어: separable closure)라고 한다. ${\displaystyle K}$의 분해 가능 폐포는 (동형을 무시하면) 유일하다. (다만, 대수적 폐포는 표준적이지 않으므로, 서로 다른 두 분해 가능 폐포 사이의 동형은 표준적이지 않다.) ${\displaystyle K}$의 분해 가능 확대는 ${\displaystyle K}$의 최대 갈루아 확대이다.

대수적 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여, 만약 모든 ${\displaystyle a\in L\setminus K}$에 대하여 그 최소 다항식 ${\displaystyle p_{a}(x)\in K[x]}$이 분해 가능 다항식이 아니라면 ${\displaystyle L/K}$를 완전 비분해 확대(完全非分解擴大, 영어: purely inseparable extension)라고 한다.

완전체의 대수적 확대는 항상 분해 가능 확대이다. 즉, 분해 불가능 확대는 양의 표수에서만 존재하는 현상이다.

대수적 확대

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)/\mathbb {F} _{p}(t^{p})}$

는 정규 확대이지만 분해 가능 확대가 아니다. ${\displaystyle t\in \mathbb {F} _{p}(t)}$의 최소 다항식은

${\displaystyle x^{p}-t^{p}\in \mathbb {F} _{p}(t^{p})[x]}$

인데, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)[x]}$에서 이는

${\displaystyle x^{p}-t^{p}=(x-t)^{p}\in \mathbb {F} _{p}(t)[x]}$

와 같이 인수분해되므로 분해 가능하지 않다.

• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

• “Separable extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Separable extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Levy, Alon (2007년 2월 13일). “Galois Theory: Separability”. 《Abstract Nonsense》 (영어).