수학에 있어서 급수 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …은 절대 수렴하는 기하급수의 초보적인 예이다. 그 합은 다음과 같이 나온다.

${\displaystyle {\frac {1}{2))+{\frac {1}{4))+{\frac {1}{8))+{\frac {1}{16))+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2))\right)^{n}=1}$

다른 급수와 마찬가지로 무한합

${\displaystyle {\frac {1}{2))+{\frac {1}{4))+{\frac {1}{8))+{\frac {1}{16))+\cdots }$

은 최초의 n항의 합

${\displaystyle s_{n}={\frac {1}{2))+{\frac {1}{4))+{\frac {1}{8))+{\frac {1}{16))+\cdots +{\frac {1}{2^{n))))$

의 n이 무한히 커질 때의 극한으로 정의된다.

s_n (위의 등식에서 언급된 양변)에 2를 곱함으로써 유용한 관계성을 알 수 있다.

${\displaystyle 2s_{n}={\frac {2}{2))+{\frac {2}{4))+{\frac {2}{8))+{\frac {2}{16))+\cdots +{\frac {2}{2^{n))}=1+{\frac {1}{2))+{\frac {1}{4))+{\frac {1}{8))+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1))}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n))))$

양변에서 s_n을 빼면 다음과 같은 등식이 나온다.

${\displaystyle s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n))))$

n을 무한으로 크게 하면 양변에서 s_n은 1에 수렴하게 된다.

n이 ∞(무한)이면 ${\displaystyle {\frac {1}{2^{n))))$은 0이 되고 s_n은 1이 된다.

이 급수는 제논의 역설 가운데 하나인 아킬레우스와 거북이의 역설을 표현하는 데에 사용되었다. 또한 호루스의 눈은 일찍부터 이 급수에서 초반 6개 항을 나타낸 것으로 여겨졌다. 도교 서적 《장자》(莊子)의 〈잡편(雜篇) 제33 천하(天下)〉에 등장하는 "한 자 길이의 회초리를 매일 부러뜨려도 만년이 지나도록 없어지지 않으리라."(一尺之捶(일척지추), 日取其半(일취기반), 萬世不竭(만세불갈))라는 구절은 이 급수와 관련이 있는 것으로 여겨진다.

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v t e 수열 및 급수
정수 수열	기초 등차수열 등비수열 조화수열 정사각수 세제곱수 계승 2의 거듭제곱 3의 거듭제곱 10의 거듭제곱 심화 (목록) 피보나치 수 다각수 칠각수 육각수 뤼카 다항식 펠 수 오각수 다각수 삼각수
수열의 속성	코시 열 단조함수 주기수열
급수의 속성	수렴급수 발산 급수 조건 수렴 절대 수렴 균등수렴 교대급수 망원급수
명시 급수	수렴 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 1 + 1/2s+ 1/3s + ... (리만 제타 함수) 발산 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (그란디 급수) 등차수열 1−2+3−4+… 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (조화급수) 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (소수의 역수) 모름 플린트 힐스 급수
급수의 종류	테일러 급수 멱급수 형식적 멱급수 로랑 급수 퓌죄 급수 디리클레 급수 삼각급수 푸리에 급수 생성함수
초기하급수	초기하함수
책 분류