수학에서 유계형 집합(有界型集合, 영어: bornological set)은 유계 부분 집합들의 집합족이 명시된 집합이다.
집합 위의 유계형(有界型, 영어: bornology)은 다음 두 조건을 만족시키는 집합족 이다.
- 덮개이다. 즉, 이다.
- 순서 아이디얼이다. 즉, 다음 세 조건이 성립한다.
- (하집합성) 임의의 및 에 대하여,
- (상향성) 임의의 에 대하여,
의 원소를 유계 집합이라고 한다.
유계형을 갖춘 집합 를 유계형 집합이라고 한다.
같은 집합 위의 두 유계형 , 에 대하여, 만약 이라면, 가 더 엉성하다(영어: coarser)고 하며, 반대로 이 더 섬세하다(영어: finer)고 한다.
두 유계형 집합 , 사이의 함수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 유계형 함수(영어: bounded map)라고 한다.
- 유계 집합의 상은 유계 집합이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.
임의의 유계형 집합 에서, 의 유한 부분 집합은 항상 유계 집합이다.
유계형 집합과 유계형 함수들의 범주는 준토포스이다.[1]:256, Example III.10(b)
집합 및 무한 기수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기가 미만인 부분 집합들의 족
은 유계형 집합을 이룬다.
특수한 경우로 다음이 있다.
- 인 경우, -유계 집합은 유한 부분 집합이다. 이는 위의 가장 엉성한 유계형이다.
- 인 경우, 모든 부분 집합이 -유계 집합이다. 이는 위의 가장 섬세한 유계형이다.
특히, 만약 가 유한 집합일 경우 들은 에 관계없이 모두 일치하며, 이는 위의 유일한 유계형이다.
T1 공간 에서, 폐포가 콤팩트 집합인 부분 집합들의 족은 유계형을 이룬다.
거리 공간 에서, 다음과 같은 집합족은 유계형을 이룬다.
여기서
는 의 지름이다.
위상체 위의 위상 벡터 공간 위의 폰 노이만 유계형(영어: von Neumann bornology)은 다음과 같다.
여기서
- 는 영벡터의 근방 필터이다.
- 는 의 가역원군이다.
두 위상 벡터 공간 , 사이의 연속 선형 변환 은 폰 노이만 유계 함수이다.
그러나 일반적으로 폰 노이만 유계 선형 변환이 연속 함수일 필요는 없다. 다만, 만약 가 거리화 가능 국소 볼록 배럴 공간이며 가 국소 볼록 공간인 경우, 선형 변환 에 대하여 연속 함수인 것은 유계인 것과 동치이다.
가 상향 원순서 집합이라고 하자. 그렇다면, 상계를 갖는 부분 집합들의 족
은 유계형을 이룬다. 마찬가지로, 가 하향 원순서 집합이라면, 하계를 갖는 부분 집합들의 족
은 유계형을 이룬다. 만약 가 상향 원순서 집합이자 하향 원순서 집합이라면 (예를 들어, 가 공집합이 아닌 전순서 집합이라면), 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합들의 족
역시 유계형을 이룬다.
측도 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 완비 측도이며, 모든 한원소 집합은 가측 집합이자 그 측도가 0이다.
- 측도가 0인 가측 집합들의 족 은 유계형을 이룬다.
유계형 집합의 개념은 조지 매키(영어: George Mackey)가 최초로 연구하였다. 이후 니콜라 부르바키가 "유계형"(프랑스어: bornologie 보르놀로지[*])이라는 용어를 도입하였다. 이는 프랑스어: borné 보르네[*](유계 집합) + 프랑스어: -ologie 올로지[*](위상 프랑스어: topologie 토폴로지[*]의 어미)의 합성어이다.