순서론에서 상향 원순서 집합(上向原順序集合, 영어: upward-directed preordered set)은 임의의 유한 부분 집합에 상계가 존재하는 원순서 집합이다. 마찬가지로, 하향 원순서 집합(下向原順序集合, 영어: downward-directed preordered set)은 임의의 유한 부분 집합에 하계가 존재하는 원순서 집합이다.

임의의 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$은 항상 다음과 같이 작은 범주로 여길 수 있다.

• 대상은 ${\displaystyle X}$의 원소이다.
• ${\displaystyle x,y\in X}$가 주어졌을 때, 만약 ${\displaystyle x\lesssim y}$라면 유일한 사상 ${\displaystyle (x,y)\colon x\to y}$가 존재하며, 아니라면 그 사이에 사상이 존재하지 않는다.
• ${\displaystyle x\in X}$의 항등 사상은 ${\displaystyle (x,x)}$이다.
• 사상의 합성은 ${\displaystyle (y,z)\circ (x,y)=(x,z)}$이다.

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원순서 집합을 상향 원순서 집합(上向原順序集合, 영어: upward-directed preordered set)이라고 한다.

• 작은 범주로 여겼을 때, 여과 범주를 이룬다.
• 임의의 유한 부분 집합 ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}\subseteq X}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$은 상계를 갖는다. 즉,
  • (${\displaystyle n=0}$인 경우) 공집합이 아니다.
  • (${\displaystyle n=2}$인 경우) 임의의 두 원소 ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x_{1}\lesssim y}$이자 ${\displaystyle x_{2}\lesssim y}$인 ${\displaystyle y\in X}$가 적어도 하나 이상 존재한다.

둘째 조건에서, ${\displaystyle n=1}$인 경우는 자명하게 참이며, ${\displaystyle n\geq 3}$인 경우는 ${\displaystyle n=2}$인 경우를 재귀적으로 적용하여 유도된다.

마찬가지로, 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원순서 집합을 하향 원순서 집합(下向原順序集合, 영어: downward-directed preordered set)이라고 한다.

• 작은 범주로 여겼을 때, 여과 범주의 반대 범주를 이룬다.
• 임의의 유한 부분 집합 ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}\subseteq X}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$은 하계를 갖는다. 즉,
  • (${\displaystyle n=0}$인 경우) 공집합이 아니다.
  • (${\displaystyle n=2}$인 경우) 임의의 두 원소 ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$에 대하여, ${\displaystyle y\lesssim x_{1))$이자 ${\displaystyle y\lesssim x_{2))$인 ${\displaystyle y\in X}$가 적어도 하나 이상 존재한다.

흔히, 상향 원순서 집합은 단순히 "유향 집합"(有向集合, 영어: directed set)으로 불린다.

원순서 집합의 부분 집합 가운데 하향 원순서 집합을 이루는 것을 필터 기저(영어: filter base)라고 하며, 그 상폐포는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 원순서 집합의 부분 집합 가운데 상향 원순서 집합을 이루는 것을 순서 아이디얼 기저(영어: ordered ideal base)라고 하며, 그 하폐포는 순서 아이디얼을 이룬다.

임의의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C))}$ 속의 상향 그림(上向-, 영어: directed diagram)은 정의역이 상향 원순서 집합 ${\displaystyle (I,\lesssim )}$인 함자 ${\displaystyle I\to {\mathcal {C))}$이다. 상향 그림의 극한을 상향 극한(영어: upward-directed limit)이라고 한다.

임의의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C))}$ 속의 하향 그림(下向-, 영어: directed diagram)은 정의역이 하향 원순서 집합 ${\displaystyle (I,\lesssim )}$인 함자 ${\displaystyle I\to {\mathcal {C))}$이다. 상향 그림의 쌍대 극한을 하향 쌍대 극한(영어: downward-directed colimit)이라고 한다.

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim _{X})}$ 위의 상향 부분 집합들의 집합 위에는 다음과 같은 원순서가 주어진다.

${\displaystyle B\lesssim B'\iff \forall b\in B\exists b'\in B'\colon b'\lesssim _{X}b}$

${\displaystyle B\lesssim B'}$일 경우 ${\displaystyle B'}$이 ${\displaystyle B}$보다 더 섬세하다(영어: finer)고 한다. 두 상향 부분 집합 ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle B'}$이 같은 필터를 생성하는 것은 ${\displaystyle B\lesssim B'}$이자 ${\displaystyle B'\lesssim B}$인 것과 동치이다.

마찬가지로, 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim _{X})}$ 위의 하향 부분 집합들의 집합 위에는 다음과 같은 원순서가 주어진다.

${\displaystyle B\lesssim B'\iff \forall b\in B\exists b'\in B'\colon b\lesssim _{X}b'}$

두 하향 부분 집합 ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle B'}$이 같은 순서 아이디얼을 생성하는 것은 ${\displaystyle B\lesssim B'}$이자 ${\displaystyle B'\lesssim B}$인 것과 동치이다.

• J. L. Kelley (1955), General Topology.
• Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1.

• “Directed set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Directed order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Directed set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Direction”. 《nLab》 (영어). 
• “Directed limit”. 《nLab》 (영어). 
• “Directed colimit”. 《nLab》 (영어).