일반위상수학에서 근방 필터(近傍filter, 영어: neighbo(u)rhood filter)는 주어진 점의 모든 근방들로 구성된 필터이다. 일반위상수학에서 필터는 점렬과 그물의 일반화로 사용되며, 필터가 주어진 점에 수렴(영어: converge)하는 것은 필터가 주어진 점의 근방 필터를 부분 집합으로 포함하는 것이다.

위상 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {T)))}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$의 근방들의 집합

${\displaystyle {\mathcal {N))_{S}=\uparrow \left({\mathcal {T))\cap \uparrow S\right)=\{N\subseteq X\colon S\subseteq U\subseteq N,\;U\in {\mathcal {T))\))$

은 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P))(X)}$ 속의 필터를 이루며, 이를 ${\displaystyle S}$의 근방 필터 또는 근방계(近傍系, 영어: neighbo(u)rhood system) ${\displaystyle {\mathcal {N))_{S))$라고 한다. ${\displaystyle X}$의 점 ${\displaystyle x\in X}$의 근방 필터는 한원소 집합 ${\displaystyle \{x\))$의 근방 필터를 뜻하며, ${\displaystyle {\mathcal {N))_{x))$로 표기한다.

근방 필터 ${\displaystyle {\mathcal {N))_{x))$의 공시작 집합 (즉, ${\displaystyle \uparrow {\mathcal {B))={\mathcal {N))_{x))$이 되는 부분 집합 ${\displaystyle {\mathcal {B))\subseteq {\mathcal {N))_{x))$)을 ${\displaystyle x}$의 국소 기저(局所基底, 영어: local base)라고 한다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 필터 ${\displaystyle {\mathcal {F))\subseteq {\mathcal {P))(X)}$ 및 점 ${\displaystyle x\in X}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle {\mathcal {N))_{x}\subseteq {\mathcal {F))}$라면, ${\displaystyle {\mathcal {F))}$가 ${\displaystyle x}$로 수렴한다(영어: converge)고 하고,

${\displaystyle {\mathcal {F))\to x}$

로 표기한다. 이 경우, ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle {\mathcal {F))}$의 극한(영어: limit)이라고 한다.

보다 일반적으로, ${\displaystyle X}$ 위의 필터 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B))\subseteq {\mathcal {P))(X)}$ 및 점 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {N))_{x}\subseteq \uparrow {\mathcal {B))}$라면, ${\displaystyle {\mathcal {B))}$가 ${\displaystyle x}$로 수렴한다고 한다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 자명한 필터 ${\displaystyle {\mathcal {P))(X)}$는 모든 점에 수렴한다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 모든 점 ${\displaystyle x\in X}$이 가산 집합인 국소 기저를 갖는다면, ${\displaystyle X}$를 제1 가산 공간이라고 한다.

위상 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {T)))}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {P))(X)}$ 전체가 아닌, ${\displaystyle {\mathcal {P))(X)}$ 위의 모든 필터가 수렴하는 점의 수는 1개 이하이다.
• 임의의 두 점 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x\neq y}$라면, ${\displaystyle {\mathcal {N))_{x}\setminus {\mathcal {N))_{y}\neq \varnothing }$이자 ${\displaystyle {\mathcal {N))_{y}\setminus {\mathcal {N))_{x}\neq \varnothing }$이다.
• 임의의 두 점 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x\in U}$이자 ${\displaystyle y\in V}$이며 ${\displaystyle U\cap V=\varnothing }$인 열린집합 ${\displaystyle U,V\in {\mathcal {T))}$가 존재한다.
• 하우스도르프 공간이다.

임의의 그물이 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 유도 필터가 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다. 마찬가지로, 임의의 필터가 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 그물이 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다.

이산 공간 ${\displaystyle X}$의 점 ${\displaystyle x\in X}$의 근방 필터는 주 필터 ${\displaystyle \uparrow \{x\))$이다. 비이산 공간 ${\displaystyle X}$의 점 ${\displaystyle x\in X}$의 근방 필터는 ${\displaystyle {\mathcal {N))_{x}=\{X\))$이다.

거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$에서, 다음과 같은 집합은 점 ${\displaystyle x\in X}$의 국소 기저를 이룬다.

${\displaystyle \{\operatorname {ball} (x,1/n)\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}=\left\{\{y\in X\colon d(x,y)<1/n\}\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\right\))$

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• “Defining system of neighbourhoods”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
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