준 리만 다양체
미분기하학에서 준 리만 다양체(영어: pseudo/semi-Riemannian manifold)는 양의 정부호가 아닐 수 있는 계량 텐서가 주어진 매끄러운 다양체이며, 리만 다양체의 일반화이다.
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정의
[편집]준 리만 다양체 는 다음 조건을 만족시키는 매끄러운 (0,2)-텐서장 가 갖추어진 매끄러운 다양체 이다.
- (대칭성) 모든 벡터장 에 대하여 이다.
- (비자명성) 만약 모든 벡터장 에 대하여 인 벡터장 가 있다면, 이다.
는 의 계량 텐서라고 한다. 만약 가 추가로 양의 정부호라면 는 리만 다양체가 된다.
로런츠 다양체
[편집]준 리만 다양체 의 부호수(영어: signature)는 그 계량 텐서의 부호수이다. (만약 이 연결 공간이라면 이는 모든 점에서 동일하다.) 부호수가 인 다양체를 로런츠 다양체(영어: Lorentzian manifold)라고 한다. (대신 로 정의하는 문헌도 있는데, 이는 로 단순히 부호를 바꾸는 것에 불과하다.)
로런츠 다양체의 응용
[편집]로런츠 다양체는 물리학에서 등장한다. 특히, 일반 상대성 이론은 시공간을 4차원 로런츠 다양체로 나타낸다.
참고 문헌
[편집]- Chen, Bang-Yen (2011). 《Pseudo-Riemannian geometry, δ-invariants and applications》 (영어). World Scientific Publisher. ISBN 978-981-4329-63-7.
- O’Neill, Barrett (1983). 《Semi-Riemannian geometry with applications to relativity》. Pure and Applied Mathematics (영어) 103. Academic Press. ISBN 978-008057057-0.
외부 링크
[편집]- “Pseudo-Riemannian space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Pseudo-Riemannian manifold”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Pseudo-Riemannian manifold”. 《nLab》 (영어).
같이 보기
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