가해 리 대수
리 군론에서 가해 리 대수(可解Lie代數, 영어: solvable Lie algebra)는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.
정의
[편집]가해 리 대수의 개념은 다양하게 정의된다.
- 일반적으로, 가해 리 대수는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.
- 표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수의 개념은 리 대수 표현론을 사용하여 정의될 수 있다.
- 실수체 또는 복소수체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수가 가해 리 대수일 조건은 대응하는 리 군이 가해군인 것이다.
유도열을 통한 정의
[편집]가환환 위의 리 대수 의 유도열(誘導列, 영어: derived series)은 다음과 같다.
만약 어떤 자연수 에 대하여 이라면, 를 가해 리 대수라고 한다.[1]:31 (는 유일한 0차원 리 대수이다.)
리 대수 의 극대 부분 리 대수는 보렐 부분 대수(영어: Borel subalgebra)라고 한다. 리 대수 의 최대 리 대수 아이디얼은 근기라고 한다. (보렐 부분 대수는 일반적으로 유일하지 않지만, 근기는 항상 유일하다.)
표현론을 통한 정의
[편집]표수 0인 체 위의 유한 차원 리 대수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
- 는 가해 리 대수이다.
- 의 딸림표현 는 가해 리 대수이다.
- 는 멱영 리 대수이다.[1]:Proposition 1.39
- (카르탕 가해성 조건 영어: Cartan’s criterion for solvability) 의 킬링 형식 가 주어졌을 때, 이다.
리 군 이론을 통한 정의
[편집]라고 하자. 그렇다면, 유한 차원 -리 대수의 경우 가해성은 다음과 같이 정의될 수 있다.
유한 차원 -리 대수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 를 리 대수로 갖는 (유일한) 단일 연결 리 군 는 (군으로서) 가해군이다.
- 이며, 라고 하자. 여기서 은 위상수학적 폐포를 뜻한다. 그렇다면 이 열은 유한하다. 즉, 가 한원소 집합인 자연수 가 존재한다.
- 는 가해 리 대수이다.
이 경우, 위와 같이 "폐포를 취한 유도열"은 리 대수의 유도열에 대응한다.
연결 리 군이 아닌 리 군 의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.
성질
[편집]함의 관계
[편집]임의의 가환환 에 대하여, 다음 포함 관계가 (정의에 따라) 성립한다.
연산에 대한 닫힘
[편집]리 대수의 짧은 완전열
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 가 가해 리 대수이다.
- 와 가 둘 다 가해 리 대수이다.
증명 ( 가해 ⇒ , 가해):
증명 (, 가해 ⇒ 가해):
충분히 큰 자연수 에 대하여
라고 하자. 그렇다면,
이므로,
이다.
즉,
- 가해 리 대수의 아이디얼은 가해 리 대수이다.
- 가해 리 대수의 몫은 가해 리 대수이다.
- 가해 리 대수의, 가해 리 대수에 대한 확대는 가해 리 대수이다.
분류
[편집]리 정리(영어: Lie’s theorem)에 따르면, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 유한 차원 가해 리 대수는 충분히 큰 에 대하여 의 부분 대수로 나타낼 수 있다. (이 정리는 양의 표수에서 성립하지 않는다.)
예
[편집]체 에 대하여, 가 모든 상삼각 행렬로 구성된 리 대수라고 하자. 이는 가해 리 대수를 이룬다.
역사
[편집]같이 보기
[편집]각주
[편집]- ↑ 가 나 Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501.
- ↑ Lie, Sophus (1876). “Theorie der Transformationsgruppen (Abhandlung Ⅱ)”. 《Archiv for Mathematik og Naturvidenskab》 (독일어) 1: 152–193.
외부 링크
[편집]- “Lie algebra, solvable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Lie group, solvable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Lie theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Solvable Lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Solvable Lie group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “LieAlgebraCommutatorSeries”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Mathew, Akhil (2009년 7월 26일). “Lie's Theorem I”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 2017년 9월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 9월 21일에 확인함.
- Mathew, Akhil (2009년 7월 27일). “Lie's Theorem II”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 2017년 9월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 9월 21일에 확인함.
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