다음 두 조건을 증명하면, 모든 가해 아이디얼들의 합이 근기가 되므로, 근기가 (자명하게) 존재하게 된다.

• ㈎ ${\displaystyle {\mathfrak {g))}$의 두 가해 아이디얼의 합은 가해 아이디얼이다.
• ㈏ ${\displaystyle {\mathfrak {g))}$의 임의의 부분 가군들의 족 ${\displaystyle {\mathcal {I))}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \sum {\mathcal {I))=\sum {\mathcal {I))'}$가 되는 유한 집합 ${\displaystyle {\mathcal {I))'\subseteq {\mathcal {I))}$가 존재한다.

㈎의 증명: ${\displaystyle {\mathfrak {g))}$의 두 가해 아이디얼이 주어졌다고 하자.

${\displaystyle {\mathfrak {a)),{\mathfrak {b))\subseteq {\mathfrak {g))}$

그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {a))+{\mathfrak {b))}$는 역시 ${\displaystyle {\mathfrak {g))}$의 아이디얼이다.

또한, 가해 리 대수의 몫과, 가해 리 대수의 가해 리 대수에 대한 확대는 역시 가해 리 대수이다. 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to {\mathfrak {a))\to {\mathfrak {a))+{\mathfrak {b))\to {\frac ((\mathfrak {a))+{\mathfrak {b))}{\mathfrak {a))}\cong {\frac {\mathfrak {b))((\mathfrak {a))\cap {\mathfrak {b))))\to 0}$

에 의하여, ${\displaystyle {\mathfrak {a))+{\mathfrak {b))}$는 가해 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {b))}$의 몫 ${\displaystyle {\mathfrak {b))/({\mathfrak {a))\cap {\mathfrak {b)))}$의, 가해 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {a))}$에 대한 확대이므로, 역시 가해 리 대수이다.

㈏의 증명: ${\displaystyle {\mathfrak {g))}$의 ${\displaystyle K}$-부분 가군들의 족

${\displaystyle {\mathcal {I))\subseteq \operatorname {Pow} ({\mathfrak {g)))}$

이 주어졌다고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 유한 부분 집합

${\displaystyle {\mathcal {I))'\subseteq {\mathcal {I))}$

${\displaystyle |{\mathcal {I))'|<\aleph _{0))$

에 대하여

${\displaystyle \sum {\mathcal {I))'\subsetneq \sum {\mathcal {I))}$

라고 가정하자.

그렇다면, 선택 공리를 사용하여, ${\displaystyle {\mathcal {I))}$의 원소들의 열 ${\displaystyle {\mathfrak {a))_{0},{\mathfrak {a))_{1},\dotsc }$을 다음과 같이 재귀적으로 고르자.

임의의 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$에 대하여, 귀류법 가정에 따라 ${\displaystyle \textstyle \sum _{j<i}{\mathfrak {a))_{j}\subsetneq \sum {\mathcal {I))}$이므로, ${\displaystyle \((\mathfrak {b))\in {\mathcal {I))\colon {\mathfrak {b))\not \subseteq \textstyle \sum _{j<i}{\mathfrak {a))_{j}\}\neq \varnothing }$이다. 선택 공리를 사용하여, ${\displaystyle {\mathfrak {a))_{i}\in \((\mathfrak {b))\in {\mathcal {I))\colon {\mathfrak {b))\not \subseteq \textstyle \sum _{j<i}{\mathfrak {a))_{j}\))$를 임의로 고른다.

그렇다면, 구성에 따라

${\displaystyle 0\subsetneq {\mathfrak {a))_{0}\subsetneq {\mathfrak {a))_{0}+{\mathfrak {a))_{1}\subsetneq {\mathfrak {a))_{0}+{\mathfrak {a))_{1}+{\mathfrak {a))_{2}\subsetneq \dotsb }$

이다. 이는 ${\displaystyle {\mathfrak {g))}$가 뇌터 가군이라는 가정에 모순된다.