4元電流密度（よんげんでんりゅうみつど、英語: four-current）とは、電荷密度と電流密度を相対論的な時空における4元ベクトルとして記述したものである。
4元電流密度はローレンツ変換の下でベクトル[要曖昧さ回避]として変換する4元ベクトルであり、時間成分は電荷密度 ρ、空間成分が電流密度 j であり
と書かれる。光速度 c により電荷密度の次元が電流密度の次元に換算される。
電荷の保存則を表す連続の方程式は、4元ベクトルの発散
の形で書かれる。
4元電流密度は電磁場の源（ソース）でありマクスウェルの方程式
を満たす。ここで F は電磁場テンソル、A は電磁ポテンシャルである。また μ0 は磁気定数である。
また、4元電流密度は、電磁場からローレンツ力
を受ける。
物質 X と電磁場 A が相互作用する系の作用積分は
![{\displaystyle S_{X}[X]+S_{A}[A]+S_{\text{int))[X,A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af55631d53c7fe361c52a430220e626c6c762c7c)
と書かれる。相互作用項 Sint は一般に
![{\displaystyle S_{\text{int))[X,A]={\frac {1}{c))\int j^{\mu }A_{\mu }(x){\sqrt {-g))\,d^{4}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d2ab42560c15e06ededc43afd54bed99d512e6)
の形で書かれるため、4元電流密度は汎関数微分により
![{\displaystyle j^{\mu }(x)={\frac {c}{\sqrt {-g))}{\frac {\delta S_{\text{int))[X,A]}{\delta A_{\mu }(x)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cacbe08801071fca37b7a21921fcdb2e98ffaeae)
と表される。
微視的に見ると4元電流密度は荷電粒子の集合であり、4元電流密度は粒子を記述する力学変数 X の関数として書かれる。粒子の系がどのように記述されるかによって、相互作用項の具体形は変化し、それに伴って4元電流密度の具体形も変化する。
古典的な粒子系を考えるとき、粒子はその位置によって記述される。4元電流密度は相対論的に取り扱われる量であり、粒子も相対論的な系を考える。
位置 Xi にある粒子が電荷 qi を帯びているとき、作用汎関数は
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{int))[X,A]&=\sum _{i}q_{i}\int {\frac {dX_{i}^{\mu )){d\lambda ))A_{\mu }(X_{i})\,d\lambda \\&=\int \sum _{i}q_{i}\int d\lambda \left({\frac {dX_{i}^{\mu )){d\lambda ))\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\right)A_{\mu }(x)\,d^{4}x\\\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ec6851301b8ba7f23db6fcef22e95d8d21e2a4)
で書かれる。したがって、この系の4元電流密度は
である。
量子論的なフェルミ粒子の系は、ディラック場 ψ で記述される。質量が m の自由なフェルミ粒子の運動項は
![{\displaystyle S_{\psi }[\psi ]=\int \left[i{\bar {\psi ))\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)-m{\bar {\psi ))\psi (x)\right]\,d^{4}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c062fa24130276eb41ff14b412569750b0b827b5)
で与えられる。ここで γ はガンマ行列である。
フェルミ粒子と電磁場との相互作用は、ゲージ理論に基づいて、微分を共変微分へ置き換える最小結合の理論で記述される。
従って、フェルミ粒子の運動項と相互作用項は
![{\displaystyle S_{\psi }[\psi ]+S_{\text{int))[\psi ,A]=\int \left[i{\bar {\psi ))\gamma ^{\mu }(\partial _{\mu }-ieA_{\mu }Q)\psi (x)-m{\bar {\psi ))\psi (x)\right]\,d^{4}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496eee15bf947e4b4b5f82d23d306b96d01ba013)
の形となる。ここで e は電磁相互作用の結合定数である電気素量である。また、Q はディラック場 ψ の U(1)em の下での変換性を表すチャージである。
従って相互作用項は
![{\displaystyle S_{\text{int))[\psi ,A]=e\int {\bar {\psi ))Q\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)\,d^{4}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1d8ec828f52b37d446ecabf2140a4d285c44b8)
であり、4元電流密度は
となる。
