エネルギー・運動量テンソル (エネルギー・うんどうりょうテンソル、英語 : energy-momentum tensor 、stress-energy tensor 、stress-energy-momentum tensor )とは、質量密度 、エネルギー密度 、エネルギー流、運動量密度、応力 を相対性理論 に基づいた形式で記述した物理量 である。
一般相対性理論 において、アインシュタイン方程式 の物質分布を示す項として登場し、重力 を生じさせる源(source term )としての意味を持つ。
エネルギー・運動量テンソルは二階のテンソル であり、記号は
T
μ
ν
{\displaystyle T^{\mu \nu ))
で表されることが多い。アインシュタイン方程式で、真空 の状況を考える時は、
T
μ
ν
=
0
{\displaystyle T^{\mu \nu }=0}
とすればよい。
エネルギー・運動量テンソル
T
μ
ν
{\displaystyle T^{\mu \nu ))
は、定義から明らかに対称テンソルである。
以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量 (metric)の符号は
(
−
,
+
,
+
,
+
)
{\displaystyle (-,+,+,+)\,}
とする。また、アインシュタインの縮約記法 を用いる。
共変微分をもちいて
T
μ
ν
;
μ
=
0
{\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0\,}
とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。
エネルギー・運動量テンソルはネーターの定理 により、時空の並進対称性のネーター・カレント として定められる。
作用積分 が
S
[
ϕ
]
=
∫
d
4
x
L
(
ϕ
,
∂
ϕ
)
{\displaystyle S[\phi ]=\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\mathcal {L))(\phi ,\partial \phi )}
と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + ξ に対して、φ'(x')=φ(x) が成り立つ。
従って、場は
δ
ξ
ϕ
(
x
)
=
ϕ
′
(
x
)
−
ϕ
(
x
)
=
ϕ
(
x
−
ξ
)
−
ϕ
(
x
)
=
−
ξ
μ
∂
μ
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \delta _{\xi }\phi (x)=\phi '(x)-\phi (x)=\phi (x-\xi )-\phi (x)=-\xi ^{\mu }\partial _{\mu }\phi (x)}
と変換される。
エネルギー・運動量テンソルは
T
μ
ν
:=
∂
L
∂
(
∂
ν
ϕ
)
∂
μ
ϕ
−
δ
μ
ν
L
{\displaystyle T_{\mu }^{\nu }:={\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial (\partial _{\nu }\phi )))\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L))}
となる。この定義には任意性があり、
h
μ
ν
ρ
=
−
h
μ
ρ
ν
{\displaystyle h_{\mu }{}^{\nu \rho }=-h_{\mu }{}^{\rho \nu ))
により
T
μ
ν
→
T
μ
ν
+
∂
ρ
h
μ
ν
ρ
{\displaystyle T_{\mu }^{\nu }\to T_{\mu }^{\nu }+\partial _{\rho }h_{\mu }{}^{\nu \rho ))
で置き換えることができる。この任意性によりエネルギー・運動量テンソルは対称テンソルとして定義される。
別の定義の仕方として、時空の計量 による汎関数微分として定義する方法がある。この方法では対称であることが定義により明確となる。
一般相対性理論においては時空の計量 g が力学変数となる。作用汎関数が
S
[
g
,
ϕ
]
=
1
c
∫
L
(
g
,
ϕ
,
∂
ϕ
)
−
g
d
4
x
{\displaystyle S[g,\phi ]={\frac {1}{c))\int {\mathcal {L))(g,\phi ,\partial \phi ){\sqrt {-g))\,\mathrm {d} ^{4}x}
で書かれているとき、計量 g による作用の汎関数微分は
δ
S
[
g
,
ϕ
]
δ
g
μ
ν
(
x
)
=
1
c
∂
L
∂
g
μ
ν
−
g
+
1
c
L
∂
−
g
∂
g
μ
ν
=
1
c
[
∂
L
∂
g
μ
ν
+
1
2
g
μ
ν
L
]
−
g
=
1
2
c
T
μ
ν
(
x
)
−
g
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta S[g,\phi ]}{\delta g_{\mu \nu }(x)))&={\frac {1}{c)){\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial g_{\mu \nu ))}{\sqrt {-g))+{\frac {1}{c)){\mathcal {L))\,{\frac {\partial {\sqrt {-g))}{\partial g_{\mu \nu ))}\\&={\frac {1}{c))\left[{\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial g_{\mu \nu ))}+{\frac {1}{2))g^{\mu \nu }{\mathcal {L))\right]{\sqrt {-g))\\&={\frac {1}{2c))T^{\mu \nu }(x){\sqrt {-g))\\\end{aligned))}
である。従って、エネルギー運動量テンソルは
T
μ
ν
(
x
)
=
2
∂
L
∂
g
μ
ν
+
g
μ
ν
L
{\displaystyle T^{\mu \nu }(x)=2{\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial g_{\mu \nu ))}+g^{\mu \nu }{\mathcal {L))}
で与えられる。
応力エネルギーテンソル 時間-時間成分、即ち
T
00
{\displaystyle T^{00}\,}
は、エネルギー密度である。
時間-空間成分、即ち
T
0
j
{\displaystyle T^{0j}\,}
は、
x
j
{\displaystyle x^{j}\,}
の方向へのエネルギーの流れである。
空間-時間成分、即ち
T
i
0
{\displaystyle T^{i0}\,}
は、i-成分の運動量密度である。
空間成分、即ち
T
i
j
{\displaystyle T^{ij}\,}
は、
x
j
{\displaystyle x^{j}\,}
の方向への i-成分の運動量の流れである。 相対論的粒子の系を記述する作用汎関数は
S
[
g
,
X
,
γ
]
=
1
2
∫
∑
i
(
1
γ
i
2
g
μ
ν
(
X
i
)
X
˙
i
μ
X
˙
i
ν
−
m
i
2
c
2
)
γ
i
(
λ
)
d
λ
=
1
2
∫
d
4
x
∫
∑
i
(
1
γ
i
2
g
μ
ν
(
x
)
X
˙
i
μ
X
˙
i
ν
−
m
i
2
c
2
)
δ
4
(
X
i
−
x
)
γ
i
(
λ
)
d
λ
{\displaystyle {\begin{aligned}S[g,X,\gamma ]&={\frac {1}{2))\int \sum _{i}\left({\frac {1}((\gamma _{i))^{2))}g_{\mu \nu }(X_{i})\,{\dot {X))_{i}^{\mu }{\dot {X))_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)\gamma _{i}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{2))\int \mathrm {d} ^{4}x\int \sum _{i}\left({\frac {1}((\gamma _{i))^{2))}g_{\mu \nu }(x)\,{\dot {X))_{i}^{\mu }{\dot {X))_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)\delta ^{4}(X_{i}-x)\,\gamma _{i}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\\end{aligned))}
であり、ここからエネルギー・運動量テンソルが
T
μ
ν
(
x
)
=
2
c
−
g
δ
S
[
g
,
X
,
γ
]
δ
g
μ
ν
(
x
)
=
c
−
g
∫
∑
i
1
γ
i
X
˙
i
μ
X
˙
i
ν
δ
4
(
X
i
−
x
)
d
λ
{\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2c}{\sqrt {-g))}{\frac {\delta S[g,X,\gamma ]}{\delta g_{\mu \nu }(x)))={\frac {c}{\sqrt {-g))}\int \sum _{i}{\frac {1}{\gamma _{i))}{\dot {X))_{i}^{\mu }{\dot {X))_{i}^{\nu }\delta ^{4}(X_{i}-x)\,\mathrm {d} \lambda }
と導かれる。補助変数 γi から導かれる拘束条件
γ
=
1
m
i
d
τ
i
d
λ
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{m_{i))}{\frac {\mathrm {d} \tau _{i)){\mathrm {d} \lambda ))}
を用いれば
T
μ
ν
(
x
)
=
1
−
g
∑
i
m
i
c
∫
u
i
μ
u
i
ν
δ
4
(
X
i
−
x
)
d
τ
i
{\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{\sqrt {-g))}\sum _{i}m_{i}c\int u_{i}^{\mu }u_{i}^{\nu }\delta ^{4}(X_{i}-x)\,\mathrm {d} \tau _{i))
となる。
物質の平均自由行程が全体のスケールに比べて短いとき、流体近似が可能である。さらに、流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり(応力テンソルが対角的であり)、粘性のない場合、完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。
T
μ
ν
=
(
ρ
+
p
)
u
μ
u
ν
+
g
μ
ν
p
{\displaystyle T^{\mu \nu }=(\rho +p)u^{\mu }u^{\nu }+g^{\mu \nu }p\,}
ρ
,
p
{\displaystyle \rho ,p\,}
は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、
g
μ
ν
,
u
μ
{\displaystyle g^{\mu \nu },u^{\mu }\,}
は、計量テンソル・流体の4元速度ベクトル(共動座標系ならば、
u
μ
=
(
1
,
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle u^{\mu }=(1,0,0,0)\,}
、流体速度を
v
i
{\displaystyle v^{i}\,}
と観測する場合には
u
μ
=
(
1
,
v
i
)
{\displaystyle u^{\mu }=(1,v^{i})\,}
)である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。
非相対論的な場合、
g
μ
ν
≈
η
μ
ν
,
|
v
i
|
≪
1
,
p
≪
ρ
{\displaystyle g_{\mu \nu }\approx \eta _{\mu \nu },\,|v^{i}|\ll 1,\,p\ll \rho \,}
となるから、行列形式で成分を書くと
T
μ
ν
=
(
ρ
ρ
v
x
ρ
v
y
ρ
v
z
ρ
v
x
p
+
ρ
v
x
2
ρ
v
x
v
y
ρ
v
x
v
z
ρ
v
y
ρ
v
x
v
y
p
+
ρ
v
y
2
ρ
v
y
v
z
ρ
v
z
ρ
v
x
v
z
ρ
v
y
v
z
p
+
ρ
v
z
2
)
{\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\rho &\rho v_{x}&\rho v_{y}&\rho v_{z}\\\rho v_{x}&p+\rho v_{x}^{2}&\rho v_{x}v_{y}&\rho v_{x}v_{z}\\\rho v_{y}&\rho v_{x}v_{y}&p+\rho v_{y}^{2}&\rho v_{y}v_{z}\\\rho v_{z}&\rho v_{x}v_{z}&\rho v_{y}v_{z}&p+\rho v_{z}^{2}\end{pmatrix))}
となる。この空間成分は、古典的流体力学の応力テンソル
π
i
j
=
ρ
v
i
v
j
+
p
δ
i
j
{\displaystyle \pi ^{ij}=\rho v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij}\,}
と一致する。
電磁場 を記述する系の力学変数は電磁ポテンシャル A であり、一般化速度に相当する力学変数の微分は電磁場強度 F である。時空の計量 g を露わに書いた電磁場のラグランジュ関数は
L
A
(
g
,
F
)
=
−
c
4
Z
0
g
μ
ν
g
ρ
σ
F
μ
ρ
F
ν
σ
(
x
)
{\displaystyle {\mathcal {L))_{A}(g,F)=-{\frac {c}{4Z_{0))}g^{\mu \nu }g^{\rho \sigma }F_{\mu \rho }F_{\nu \sigma }(x)}
である。このラグランジュ関数から得られる電磁場のエネルギー・運動量テンソルは
T
μ
ν
(
x
)
=
c
Z
0
[
F
μ
ρ
F
ν
ρ
−
1
4
g
μ
ν
F
ρ
σ
F
ρ
σ
]
{\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {c}{Z_{0))}\left[F^{\mu \rho }F^{\nu }{}_{\rho }-{\frac {1}{4))g^{\mu \nu }F^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }\right]}
となる。
T 00 は電磁場のエネルギー密度 、T 0j はポインティング・ベクトル 、Tij はマクスウェルの応力テンソル である。
Glossary of tensor theory(英語版 ) 範囲 (Scope )
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