Hyperbolinen kulma
Wikipediasta
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Hyperbolic_sector.svg/200px-Hyperbolic_sector.svg.png)
Hyperbolinen kulma on matematiikassa hyperbolisen sektorin suuruutta mittaava suure. Hyperbolinen kulma liittyy hyperbeliin hieman samaan tapaan kuin tavanomainen kulma ympyrään.
Hyperbolinen kulma määritellään niin, että se on yhtä suuri kuin hyperbeliin xy=1 liittyvän vastaavan sektorin pinta-ala. Tämä hyperbeli on suorakulmainen, ja sen isoakselin puolikas on . Tämä vastaa analogisesti sitä, että ympyrässä, jonka säde on , on sektorin pinta-ala lukuarvoltaan sama kuin sektoria vastaava keskuskulma.
Hyperbelille on olemassa parametriesitys:
- ,
missä cosh ja sinh tarkoittavat hyperbolisia funktiota. Näissä lausekkeissa esiintyvää parametria t sanotaan origosta pisteisiin (1, 0) ja (x, y) johtavien janojen väliseksi hyperboliseksi kulmaksi.
Määritelmä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Tarkastellaan suorakulmaista hyperbeliä eli pisteiden uraa, ja kiinnitetään huomiota erityisesti hyperbelin siihen osaan, jossa .
Määritellään ensin:
- Perusasennossa hyperbolinen kulma on se tasoalue, joka jää niiden puolisuorien kautta, jotka molemmat alkavat origosta ja joista toinen kulkee pisteen (1, 1), toinen taas pisteen kautta, missä .
- Hyperbolisen kulma suuruudeksi määritellään vastaavan hyperbolisen sektorin pinta-ala. Integraalilaskennan avulla voidaan osoittaa, ett tämä pinta-ala on x:n luonnollinen logaritmi ().
Tällöin voidaan todeta:
- Toisin kuin tavanomainen ympyrään liittyvä kulma, hyperbolinen kulma on ylhäältä rajoittamaton (koska on rajoittamaton); tämä liittyy siihen, että harmonisella sarjalla ei ole ylärajaa vaan se hajaantuu.
- Kulman suuruuden lauseke viittaa siihen, että kun , hyperbolinen kulma on negatiivinen. Tämä liittyy siihen, että kulma on suunnattu.
Lopuksi hyperbolisen kulman määritelmää voidaan laajentaa hyperbelin kaikkiin osiin. Olkoot sellaisia positiivisia reaalilukuja, että ja , jolloin ja ovat hyperbelin pisteitä ja määrittävät sille tietyn välin. Silloin kuvaus , joka venyttää tai kutistaa kuviota x- tai y-akselin suunnassa, kuvaa kulman perusasemassa olevalle kulmalle . Gregoire de Saint-Vincent todisti aikoinaan, että näiden kulmien määrittelemien hyperbolisten sektorien pinta-alat ovat yhtä suuret, ja tätä pinta-alaa sanotaan vastaavan hyperbolisen kulman suuruudeksi. Se on yhtä suuri kuin .
Tämä hyperbolinen kulma ei kuitenkaan ole sama kuin origosta pisteisiin (1, 0) ja (x, y) = piirrettyjen janojen välinen tavanomaisella tavalla mitattu eli sirkulaarinen kulma. Sen sijaan jos tämä hyperbolinen kulma on t, on näiden janojen välinen tavanomaisesti mitattu kulma (radiaaneina) , ja kääntäen, jos tavanomaisesti mitattu kulma on , on näiden janojen välinen hyperbolinen kulma .
Hyperbolinen ja sirkulaarinen kulma
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Hyperbolic_functions-2.svg/200px-Hyperbolic_functions-2.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/HyperbolicAnimation.gif/250px-HyperbolicAnimation.gif)
Yksikköympyrään liittyy ympyräsektori, jonka pinta-ala on puolet vastaavan keskuskulman suuruudesta radiaaneina. Vastaavasti hyperbeliin liittyy hyperbolinen sektori, jonka pinta-ala on puolet hyperbolisesta kulmasta.
Projektiivisessa geometriassa ympyrän ja hyperbelin välille löytyy yhteys, sillä molemmat ovat kartioleikkauksia. Jos jommastakummasta valitaan yksi piste, muut pisteet vastaavat kulmia. Tieteellisesti keskeinen kulmien yhteenlaskua vastaamaan asetetaan seuraavalla tavalla määritelty pisteiden yhteenlasku:
Sirkulaarisia kulmia luonnehtii geometrisesti se seikka, että jos yksikköympyrään piirretään pisteestä P0 = (1,0) alkavat jänteet P0P1 ja P0P2, joita vastaavat keskuskulmat ovat L1 ja L2, näiden summa L1 + L2 on erään sellaisen jänteen P0Q keskuskulma, jota vastaava jana P0Q on yhdensuuntainen janan P1P2 kanssa.
Hyperbelillä on vastaava ominaisuus. Jos määritellään, että P0 = (1, 1), P1 = (x1, 1/x1/ ja P2 = (x1, 1/x1/), yhdensuuntaisuusehto edellyttää, että Q on piste (x1x2, 1/x11/x2))). Tämän vuoksi on mielekästä määritellä origosta pisteeseen (1,1) ja mielivaltaiseen hyperbelillä olevaan pisteeseen (x, y) välinen hyperbolinen kulma tämän pisteen x-arvon logaritmisena funktiona.[1]/[2]
Euklidisen geometrian mukaan liikuttaessa tasaisella nopeudella siten, että liikkeen suunta on aina kohtisuorassa origosta kulloinkin sijaintipisteeseen piirrettyyn säteeseen nähden, muodostuu liikerata ympyräksi. Sen sijaan pseudoeuklidisesssa avaruudessa vastaavalla tavalla liikuttaessa muodostuu ratakäyräksi hyperbeli. In Euclidean space, the multiple of a given angle traces equal distances around a circle while it traces exponential distances upon the hyperbolic line.[3]
Sekä sirkulaarinen että hyperbolinen kulma ovat esimerkkejä invarianteista mitoista. Ympyrän kaaret, joita vastaa tietyn suuruinen keskuskulma, määrittelevät mitan eräille ympyrän kehällä muodostetuille mitallisille joukoille, eikä tämä mitta muutu ympyrän kääntyessä tai kiertyessä. Hyperbelilla tätä kääntymistä vastaa puristava kuvaus, ja hyperbolisen kulman suuruus pysyy ennallaan, kun tasoa puristetaan kuvauksella
- (x, y) ↦ (rx, y / r), missä r > 0 .
Yhteys Minkowskin viiva-alkioon
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Hyperbolisen kulman ja suhteellisuusteoreettisen Minkowski-avaruuden metriikan välillä on mielenkiintoinen yhteys. Samaan tapaan kuin kaksiulotteisessa euklidisessa geometriassa viiva-alkion pituus on
vastaava pituus Minkowski-avaruudessa on[4]
Käsitellään kaksiulotteisella euklidisella tasolla käyrää
- ,
missä parametri on reaaliluku, joka saa kaikki arvot :n ja :n väliltä (). Tämän käyrän kaaren pituus euklidisella tasolla on
Yhtälö määrittelee yksikköympyrän, jolla on myös yksiparametrinen esitys ja . Rajaoittumalla väliin saadaan kaaren pituudeksi . Jos suoritetaan muutoin sama toimenpide mutta korvataan euklidinen janaelementti Minkowskin janaelementillä,
ja määritellään yksikköhyperbeliksi yhtälön kuvaaja, jolla on myös parametriesitys ja sekä rajoittutaan tarkastelemaan väliä (hyperbolista kulmaa), todetaan, että . Toisin sanoen tämä osoittaa juuri sen, että samoin kuin (sirkulaarinen) kulma voidaan määritellä yksikköympyrän kaaren pituutena euklidisessa metriikassa, voidaan hyperbolinen kulma määritellä yksikköhyperbelin kaaren Minkowskin metriikan mukaisena pituutena.
Historia
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Hyperbolic_sector.svg/200px-Hyperbolic_sector.svg.png)
Hyperbelin neliöimisellä tarkoitetaan hyperbolisen sektorin pinta-alan määrittämistä. Voidaan osoittaa, että se on yhtä suuri kuin hyperbelin ja sen asymptootin välisen vastaavan alueen pinta-ala. Sen onnistui ensimmäisenä määrittämään Gregoire de Saint-Vincent vuonna 1647 teoksessaan Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni. Kuten eräs historioitsija myöhemmin asian ilmaisi, Saint-Vincent neliöi hyperbelin ja sen asymptoottien välisen alueen ja totesi, että tämän alueen pinta-ala kasvoi aritmeettisen sarjan mukaan samalla kun abskissa kasvoi geometrisen sarjan mukaan.[5]
A. A. de Sarasa määritteli luonnollisen logaritmin hyperbelin avulla. Tämän määritelmän mukaan luvun a luonnollinen eli "hyperbolinen logaritmi" on hyperberlin , x-akselin sekä suorien x=1 ja x=a välisen alueen pinta-ala. Tämä funktio, joka on tunnetuimpia esimerkkejä transkendenttisesta funktiosta, voidaan kuitenkin yhtäpitävästi määritellä toisinkin, nimittäin eksponenttifunktion käänteisfunktiona. Hyperbolisella kulmalla on kuitenkin keskeinen merkitys, kun Saint-Vincentin lauseen pohjalta on kehitetty puristuskuvausten teoria.
Ympyrän trigonometrian yleisti hyperbelille Augustus De Morgan vuonna 1849 laatimassaan oppikirjassa Trigonometry and Double Algebra.[6] Vuonna 1878 W. K. Clifford parametrisoi hyperbolisen kulman avulla yksikköhyperbelin kuvaillen sitä kvasiharmonisena liikkeenä.
Vuonna 1894 Alexander Macfarlane julkaisi teoksessaan Papers on Space Analysis tutkielman The Imaginary of Algebra, jossa hän generoi hyperbolisten kulmien avulla hyperboliset versorit.[7] Seuraavana vuonna Bulletin of the American Mathematical Society julkaisi Mellen W. Haskelin tutkielman hyperbolisista funktioista.[8]
Vuonna 1914 laatimassaan suhteellisuusteorian oppikirjassa Ludwik Silberstein käytti rapiditeetin käsittettä ja osoittin sen yhteyden hyperbolisen avaruuden kolmioihin. Rapiditeetti määriteltiin hyperbolisena kulmana , toisin sanoen kappaleen nopeuden ja valonnopeuden suhteen hyperbolisena tangenttina. Hän kirjoitti:
"On syytä huomauttaa, että rapiditeetin arvo 1 vastaa jo huimaa nopeutta, noin kolmea neljäsosaa valonnopeudesta; tarkemmin sanottuna v = 0,7616c, kuna=1." "Niinpä rapiditeetti a=1 merkitsee nopeutta 0,76 c, mikä on hieman suurempi kuin valon nopeus vedessä."[9]
Silberstein käytti myös Nikolai Lobatševskin esittämää parallelismikulman käsitettä Π(a), jolla saatiin .[9]
Hyperbolinen kulma imaginaarisena kulmana
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Hyperbolinen kulma esitetään usein ikään kuin se olisi imaginaariluku. Jos x on mikä tahansa reaaliluku, pätee trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä yhteys
- ,
joten hyperboliset funktiot cosh ja sinh voidaan esittää sirkulaaristen, trigonometristen funktioiden avulla. Nämä yhteydet eivät kuitenkaan suoranaisesti ilmene ympyrässä tai rotaatiossa, mitenkään, vaan ne on paremmin ymmärrettävissä päättymättömien sarjojen käsittein. Erityisesti eksponenttifunktiota ( ) esittävä sarja muodostuu parillisista ja parittomista termeistä, joista edelliset muodostavat hyperbolisen kosinifunktion (), jälkimmäiset hyperbolisen sinifunktion (). Kosinia vastaava päättymätön sarja voidaan muodostaa funktion cosh sarjasta korvaamalla sen joka toinen termi vastaluvullaan eli muuttamalla se vuorottelevaksi, ja vastaavalla tavalla saadaan sinifunktion sarja funktion sinh sarjasta. Tämä voidaan tehdä kertomalla sarjan jokainen termi vuorottelutekijällä (−1)n. Edellä olevat funktioiden väliset yhteydet saadaan korvaamalla tämä vuorottelutekijä imaginaariyksiköllä i, jolloin saadaan palautetuksi eksponenttifunktion sarjan molemmat osasarjat. Kuitenkin holomorfisten funktioiden teoriassa hyperbolisia sini- ja kosinifunktioita käsitellään kompleksisina sini- ja kosinifunktioina.
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Bjørn Felsager: ”Angles in Minkowski Geometry”, Through the Looking Glass – A glimpse of Euclid's twin geometry, the Minkowski geometry, s. 14–15. Haslew Gymnasium & HF, 2004. Teoksen verkkoversio.
- ↑ Viktor Prasolov, Yuri Solovyev: Elliptic Functions and Elliptic Integrals. Translations of Mathematical Monographs, 1997, nro 170.
- ↑ Hyperbolic Geometry pp 5–6, Fig 15.1
- ↑ Minkowsky Metric Wolfram MathWorld. Viitattu 22.3.2022.
- ↑ David Eugene Smith: History of Mathematics. (({Julkaisija))}, 1925.
- ↑ Augustus De Morgan: ”Chapter VI: On the connection of common and hyperbolic trigonometry”, Trigonometry and Double Algebra, s. 66-70. Taylor, Walton, and Maberly, 1849. Teoksen verkkoversio.
- ↑ Alexander Macfarlane: ”The Imaginary of Algebra”, Papers on Space Analysis, s. 136. B. Westerman, 1894. Teoksen verkkoversio.
- ↑ Mellen W. Haskel: On the introduction of the notion of hyperbolic functions. Bulletin of the American Society, 1895, 1. vsk, nro 6, s. 155–159. Artikkelin verkkoversio.
- ↑ a b Ludwik Silberstein: ”Chapter VI: Composition of Velocities and the Lorentz Group”, The Theory of Relativity, s. 179–181. MacMillan & Co, Ltd., 1914. Teoksen verkkoversio.
Aiheesta muualla
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- William Mueller: ”The number e: Example 5: Hyperbolic Trigonometry”, Exloring Precalculus. (({Julkaisija))}. Teoksen verkkoversio.
- ((verkkoviite | Osoite = https://en.wikibooks.org/wiki/Calculus/Hyperbolic_angle | Nimeke = Calculus / Hyperbolic angle | Sivusto = WikiBooks |
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.