Matematiikassa holomorfiset funktiot ovat kompleksianalyysin keskeinen tutkimuskohde. Holomorfinen funktio on yhden tai useamman muuttujan kompleksiarvoinen funktio, joka on kompleksisesti derivoituva jokaisen määrittelyjoukkonsa pisteen ympäristössä.

Käsitettä analyyttinen funktio käytetään usein synonyyminä käsitteelle “holomorfinen funktio” ^[1] , vaikka sanaa analyyttinen käytetään myös laajemmassa merkityksessä: se voi olla mikä tahansa funktio (reaalinen, kompleksinen tai vielä yleisempi tapaus), joka voidaan kehittää Taylorin sarjaksi jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä. Holomorfinen funktio on siis kompleksiarvoinen analyyttinen funktio.

Holomorfista funktiota, jonka määrittelyjoukko on koko kompleksitaso, kutsutaan kokonaiseksi funktioksi. Ilmaus "holomorfinen pisteessä z₀" ei tarkoita vain derivoituvuutta pisteessä z₀, vaan myös jossakin kompleksitasossa sijaitsevassa pisteen z₀ ympäristössä.

Jos funktio ƒ on kompleksiarvoinen yhden (kompleksi)muuttujan funktio, sen derivaatta määrittelyjoukon pisteessä z₀ määritellään raja-arvona

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0)){f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0)).}$

Tämä on sama kuin derivaatan määritelmä reaalifunktioille, paitsi että kaikki muuttujan ja funktion arvot ovat kompleksilukuja. Erityisesti on huomattava, että raja-arvoa laskettaessa kompleksiluku z lähestyy kompleksilukua z₀, ja raja-arvon on oltava sama riippumatta siitä, mistä kompleksitason suunnasta lukua z₀ lähestytään. Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan, että ƒ on derivoituva pisteessä z₀. Kompleksifunktion ja reaalifunktion derivaatoilla on useita yhteisiä ominaisuuksia: molemmat ovat lineaarisia, ja kummassakin tapauksessa tulon ja osamäärän derivointisäännöt sekä ketjusääntö vastaavat toisiaan.

Jos ƒ on kompleksisesti derivoituva jokaisessa alueen  U pisteessä z₀ , sanotaan, että ƒ on holomorfinen alueessa U. Jos ƒ puolestaan on holomorfinen jossakin pisteen  ympäristössä z₀, sen sanotaan olevan holomorfinen pisteessä z₀. Funktion ƒ sanotaan olevan holomorfinen ei-avoimessa joukossa A, jos se on holomorfinen A:n sisältävässä avoimessa joukossa.

Reaalisen ja kompleksisen derivoituvuuden välinen suhde voidaan esittää seuraavasti: Jos kompleksifunktio ƒ(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) on holomorfinen, funktioilla u ja v on ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat x:n ja y:n suhteen. Nämä osittaisderivaatat toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y))\qquad {\mbox{ja))\qquad {\frac {\partial u}{\partial y))=-{\frac {\partial v}{\partial x)).\,}$

Vaikka osittaisderivaatat toteuttaisivat Cauchyn-Riemannin yhtälöt, funktio ei automaattisesti ole holomorfinen, vaan tarvitaan lisätietoa joko funktion tai osittaisderivaattojen jatkuvuudesta. Yksinkertaisimmillaan voidaan osoittaa, että jos funktioilla u ja v on jatkuvat ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat, jotka toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt, ƒ on holomorfinen. Tyydyttävämpi lause, joka on vaikeampi todistaa, on Looman–Menchoffin lause: jos funktio ƒ on jatkuva ja funktioilla u ja v on ensimmäisen kertaluvun jatkuvat osittaisderivaatat, jotka toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt, ƒ on holomorfinen.

Sanan "holomorfinen" ottivat käyttöön kaksi Cauchyn oppilasta, Briot (1817–1882) ja Bouquet (1819–1895). Sanan juuret ovat kreikan kielen sanoissa ὅλος (holos), joka tarkoittaa kokonainen ja μορφή (morphē), joka tarkoittaa "muoto".^[2]

Koska kompleksifunktion derivointi on lineaarinen operaatio, ja funktioiden tulo ja osamäärä derivoidaan ja ketjusääntöä käytetään samoin kuin reaalifunktioiden tapauksessa, holomorfisten funktioiden summat, tulot ja yhdistetyt funktiot ovat holomorfisia, ja kahden holomorfisen funktion osamäärä on holomorfinen muualla paitsi nimittäjän nollakohdissa.

Cauchyn lauseen mukaan holomorfisen funktion polkuintegraali yhdesti yhtenäisessä alueessa suljetun polun yli on nolla. Sen käänteislause on Moreran lause: Jos jatkuvan funktion integraali yli suljetun polun on nolla, funktio on holomorfinen.

Holomorfisten funktioiden integraaleja voidaan laskea Cauchyn integraalikaavan avulla. Sen perusteella voidaan laskea avoimessa kiekossa määritellyn holomorfisen funktion arvot alueen sisäpisteissä, jos arvot alueen reunalla tunnetaan.

Integraalikaavaa voidaan soveltaa myös funktion derivaatalle, jolloin sitä voidaan kutsua Cauchyn derivointisäännöksi

${\displaystyle f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2))\,dz,}$

Sääntö pätee mille tahansa suljetulle käyrälle, joka kierretään kertaalleen positiiviseen kiertosuuntaan pisteen ${\displaystyle a}$ ympäri.

Kaava voidaan myös yleistää n:nen kertaluvun derivaatalle. Jos siis holomorfisella funktiolla on ensimmäisen kertaluvun derivaatta, sillä on kaikkien kertalukujen derivaatat, siis

${\displaystyle f^{(n)}(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{n+1))\,dz,}$

Kaikki kompleksikertoimiset polynomifunktiot ovat holomorfisia kompleksilukujen joukossa, samoin sini, kosini ja eksponenttifunktio. (Kompleksilukujen joukossa trigonometristen funktioiden ja eksponenttifunktion välillä on Eulerin kaavan mukainen yhteys.

Cauchy–Riemannin yhtälöiden seurauksena reaaliarvoisen holomorfisen funktion on oltava vakio. Siten mm.z:n reaaliosa ja imaginaariosa eivät ole holomorfisia. Toinen tyyppiesimerkki ei-holomorfisesta funktiosta on kompleksikonjugaatti.

• Meromorfinen funktio

• Väisälä, Kalle: Matematiikka IV. 141, 10. painos. Espoo: Otakustantamo, 1986 (1965). ISBN 951-671-087-5.
• Lehto, Olli: Funktioteoria I–II. Helsinki: Limes ry, 1985 (1980). ISBN 951-745-077-X.