Асно́ўная тэарэ́ма а́лгебры сцвярджае, што поле камплексных лікаў алгебраічна замкнута, г. зн.

Дадзенае сцвярджэнне справядліва і для мнагачленаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі, бо ўсякі рэчаісны лік з'яўляецца камплексным, з нулявой уяўнай часткай.

Не існуе строга алгебраічнага доказу тэарэмы — усе наяўныя прыцягваюць неалгебраічныя канцэпцыі, накшталт паўнаты мноства рэчаісных лікаў або тапалогіі камплекснай плоскасці. Да таго ж, тэарэма не з'яўляецца «асноўнай» у сучаснай алгебры — яна атрымала гэту назву ў часы, калі асноўным напрамкам алгебры быў пошук рашэнняў алгебраічных ураўненняў з рэчаіснымі і камплекснымі каэфіцыентамі.

Самы просты доказ гэтай тэарэмы даецца метадамі камплекснага аналізу. Выкарыстоўваецца той факт, што функцыя, якая аналітычная на ўсёй камплекснай плоскасці і не мае асаблівасцей на бесканечнасці, ёсць канстанта. Таму функцыя 1/p, дзе p — мнагачлен, павінна мець хоць адзін полюс на камплекснай плоскасці, і адпаведна, мнагачлен мае хоць адзін корань.

Прамым вынікам з тэарэмы з'яўляецца тое, што любы мнагачлена ступені n над полем камплексных лікаў мае ў ім роўна n каранёў, з улікам іх кратнасці.

У мнагачлена ${\displaystyle f(x)}$ ёсць корань ${\displaystyle a}$, значыць, па тэарэме Безу, яго можна запісаць у выглядзе ${\displaystyle (x-a)g(x)}$, дзе ${\displaystyle g(x)}$ — іншы мнагачлен. Прыменім тэарэму да ${\displaystyle g(x)}$ і будзем прымяняць яе такім жа чынам да таго часу, пакуль на месцы ${\displaystyle g(x)}$ не апынецца лінейны множнік.

Як здагадка гэтая тэарэма ўпершыню сустракаецца ў нямецкага матэматыка Пітэра Роўтэ (пам. 1617). Першыя доказы асноўнай тэарэмы алгебры належаць Жырару, 1629 г., і Дэкарту, 1637 г., у фармулёўцы, якая адрозніваецца ад сучаснай. Маклорэн і Эйлер удакладнілі фармулёўку, надаўшы ёй форму, раўназначную сучаснай:

Д'Аламбер першым у 1746 годзе апублікаваў доказ гэтай тэарэмы. Ён грунтаваўся на леме, што для любога пункта, які не з'яўляецца коранем мнагачлена, знойдзецца пункт з меншым модулем мнагачлена ў ім, г.зн.

${\displaystyle \forall x:f(x)\neq 0\ \Rightarrow \exists y:|f(y)|<|f(x)|.}$

Гэты доказ быў бы строгім, калі б Д'Аламбер мог даказаць, што на камплекснай плоскасці значэнне модуля мнагачлена дасягае найменшага значэння. У другой палавіне XVIII стагоддзя з'яўляюцца доказы Эйлера, Лапласа, Лагранжа і іншых. Ва ўсіх гэтых доказах дапускаецца, што нейкія «ідэальныя» карані мнагачлена існуюць, а затым даказваецца, што прынамсі адзін з іх з'яўляецца камплексным лікам.

Гаус першым даў доказ без гэтага дапушчэння, адзіным выкарыстаным ім, але недаказаным сцвярджэннем была тэарэма Бальцана — Кашы для мнагачлена. Яна сцвярджае, што мнагачлен з рэчаіснымі каэфіцыентамі, які прымае як дадатнае, так і адмоўнае значэнне, мае корань. Доказ Гауса, па сутнасці, утрымлівае пабудову поля раскладання мнагачлена.

• Асноўная тэарэма аналізу
• Асноўная тэарэма арыфметыкі

• В.М.Тихомиров, В.В.Успенский Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение. — МЦНМО, 1997. — № 1. — С. 50-70.
• В.Б. Алексеев Теорема Абеля в задачах и решениях // Математическое просвещение. — МЦНМО, 2001. — С. 192. Архівавана з першакрыніцы 8 кастрычніка 2010.

Алгебраічныя ўраўненні
Ураўненні па ступенях	Лінейнае ўраўненне · Квадратнае ўраўненне · Кубічнае ўраўненне · Ураўненне 4-й ступені · Ураўненне 5-й ступені · Ураўненне 6-й ступені · Ураўненне 7-й ступені
Іншае	Зваротнае ўраўненне  · Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў
Асноўныя паняцці	Мнагачлен  · Корань мнагачлена  · Дыскрымінант  · Рэзультант  · Сіметрычны мнагачлен
Тэарэмы	Тэарэма Віета  · Тэарэма Безу  · Асноўная тэарэма алгебры  · Тэарэма Абеля — Руфіні